Hypothèses dérivation sous l'intégrale

Petit mathématicien · June 2018

Bonjour
je suis dans le contexte suivant.

$F(t)=\int_I f(x,t)dx$ où $I$ n'est pas forcément un intervalle compact.
Je suis encore très fragile lorsqu'il s'agit de bien comprendre toutes les hypothèses pour dériver sous l'intégrale.
Premièrement, $F$ doit être bien définie.
Donc une première hypothèse serait :
$x\mapsto f(x,t)$ est intégrable

Première question: pourquoi faut-il rajouter $x\mapsto f(x,t)$ continue par morceau ?

Ensuite, pour que $F'$ soit bien définie, il faut que la dérivée partielle en $x$ existe et:
$x \mapsto d/dt f(x,t)$ soit intégrable donc hypothèse de domination par une fonction indépendante de $x$ et qui soit intégrable.

Deuxième question: Pourquoi faut il ajouter
$x\mapsto f(x,t)$ continue et $t\mapsto f(x,t)$ continue par morceau ?

Je n'ai pas mis $I$ et $J$ à chaque fois mais $f$ définie sur $I\times J$.
Merci pour votre aide !

gebrane · June 2018

$x\mapsto f(x,t)$ intégrable dans quel sens ( les deux cas I compacte ou non)?

Petit mathématicien · June 2018

I est un intervalle quelconque, pas forcément compact..

gebrane · June 2018

Intégrable au sens de Riemann ou Lebesgue ou ...

Petit mathématicien · June 2018

Je ne veux pas entrer dans la théorie de Lebesgue. J'essaye de comprendre les hypothèses dans le cadre de l'intégrale traditionnelle de Riemann.

gebrane · June 2018

Regarde cette preuve et dit si tu n'as pas besoin de la continuité par morceaux https://www.maths-france.fr/MathSpe/Cours/09-integrales-a-parametres.pdf

A vrai dire je ne sais s'il y a une preuve qui évite d'en parler dans le cadre de la théorie de Riemann

Petit mathématicien · June 2018

Il disent juste que F est définie car t->f(x,t) est continue par morceau et intégrable, mais ils n'expliquent pas pourquoi on a besoin de la continuité par morceau.

gebrane · June 2018

Est ce que une preuve sous la main de ce théorème ?

Petit mathématicien · June 2018

Oui, j'ai plusieurs preuves, mais ce n'est pas évident du tout. Dans chaque livre, c'est cité différemment, on n'y comprend plus rien au final et on ne distingue plus l'hypothèse nécessaire de celle qui n'est pas nécessaire.

Dans les preuve, jamais un livre n'a justifié pourquoi on avait besoin de la continuité par morceau..

rakam · July 2018

Bonjour !
Eternel problème : que veut dire Riemann-intégrable ?

A strictement parler il n'y a aucun doute : pour les fonctions à valeurs réelles, par exemple, encadrement des sommes de Darboux ; pour les fonctions à valeurs vectorielles c'est plus compliqué, mais nul besoin de "continue par morceaux".

Mais il y a les "programmes" : en particulier celui des CPGE.
Pour pouvoir utiliser des conditions de convergence dominée on a construit une "usine à gaz" : imposer la continuité par morceaux et une condition de majoration des intégrales sur segments.
Le besoin de "continue par morceaux" vient du refus d'utiliser la vraie intégrabilité de Riemann mais il faut reconnaître que si on y renonce on "devrait" démontrer l'intégrabilité d'une limite simple, ce qui est faux en général tandis que "voir" une continuité par morceaux (quand elle est vraie) de cette limite est plus raisonnable en pratique.

Pratiquement tu devrais citer systématiquement la continuité par morceaux, à moins que tu n'aies besoin d'intégrer des fonctions qui ne le sont pas.
Auquel cas il faudra bien revenir à une définition plus faible d'intégrabilité.

bisam · July 2018

Concrètement, dans le cadre des programmes de CPGE, tu dois citer le fait que la fonction est continue par morceaux tout simplement parce que tu ne sais pas ce que pourrait signifier l'intégrale d'une fonction qui ne le serait pas.

Autrement dit, dans les connaissances que tu as, il est nécessaire de le citer simplement parce que sinon, ce que tu écris n'a pas de signification.

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