Séries de Fourier

mati · June 2018

Bonjour,
comment écrire le développement en série de Fourier d'une fonction $f(x,t)$ -$1$ périodique en $x$ définie sur $\R^n \times \R_+$?
Je sais comment developper une fonction en dimention 1 mais il est difficile pour moi de développer une fonction définie sur $\R^n \times \R_+$
Merci par avance.

Poirot · July 2018

Pour chaque $t$ fixé, tu peux développer ta fonction $1$-périodique en $x$ : $$\sum_{n \in \mathbb Z} c_n(t) \rm{e}^{inx}.$$
Les coefficient $c_n(t)$ sont donnés, à $t$ fixé, par les formules usuelles. Comme d'habitude il faut se poser la question de la convergence d'une telle série de Fourier vers ta fonction ("vrai développement" point par point, ou bien seulement presque partout ou $L^2$).

mati · July 2018

Poirot le souci est comment définir les coefficients $c_n(t)$?
Quand $f$ est une fonction $1$ périodique en $x \in \R$ on écrit
$$
f(x)= \dfrac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^{+\infty} [a_k \cos(2\pi k x) + b_k \sin(2 \pi k x)]
$$
où
$a_k= \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(kx) dx$ et $b_k= \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(kx) dx$,
les fonctions $1,\cos(kx), \sin(kx)$ $k=1,2,...$ forment une base orthonormale de $L^2(\R \setminus 2 \pi)$

Si le fonction dépend de $(x,t) \in \R^n \times \R_+$ comment on définit les coefficients?

Poirot · July 2018

$$c_n(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(u,t) \rm{e}^{-inu} \,du$$

Je me répète : à chaque $t$ fixé, on fait une série de Fourier $1$-dimensionnelle classique.

gebrane · July 2018

Attention Poirot, un oubli , ton $u\in\R^n$,

Pour $m=(m_1,...,m_n)\in \Z^n$, $t$fixé, $f(.,t)\in L^2_{[0,1]^n} $ les coefficients de Fourier sont donnés par:

$c_{m,t}(f)=\int_{[0,1]^n} f(u_1,..,u_n,t)e^{-i\sum_{i=1}^n m_iu_i}du_1...du_n$

@mati Quelle est ta définition d'une fonction 1 périodique à plusieurs variables?

voir section 4.2.c comment on définit correctement les sériés de Fourier en 2D

Poirot · July 2018

Ah zut, dans ma tête c'était $\mathbb R \times \mathbb R^+$. Bon ça ne change pas l'idée, à $t$ fixé, on développe la fonction de $n$ variables en série de Fourier multidimensionnelle. Reste à savoir ce que veut dire mati par "$1$-périodique" dans le cas $n \geq 1$.

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