Densité des fonctions continues dans Lp

Bonjour,

Question intéressante.
Dans ton sketch de la preuve, je ne vois pas bien comment on passe des indicatrices d'intervalles aux indicatrices d'ensembles bornés.
Or, c'est précisément ce genre d'approximations (avec parfois compact à la place de borné) qui font appel à la régularité de la mesure de Lebesgue.

On veut montrer que les combinaisons linéaires des indicatrices d'intervalles sont denses dans les fonctions étagées à support compact. Pour cela il suffit de montrer qu'elles sont denses dans les fonctions indicatrices à support compact. Au regard de la norme $L^p$ (pour $p\neq \infty$) cela revient à montrer la propriété suivante :

Pour tout ensemble mesurable $A$ borné et tout $\varepsilon>0$ il existe une suite finie de pavés ouverts $P_1,\ldots,P_n$ tels que $A\subset \cup P_i$ et $\lambda(\cup P_i)-\lambda(A)<\varepsilon$.

À noter que si l'on remplace les $P_i$ par les $Q_i=\overline{P_i}$ tout marche pareil puisque $\lambda(\partial P_i)=0$.

La fonction $\mathbf 1_{A}$ est donc bien approchée en norme $L^p$ par la fonction $\sum\mathbf 1_{Q_i}$ et tu as la densité que tu voulais. La propriété que j'ai énoncé plus haut est en fait plus forte que la régularité extérieure de la mesure de Lebesgue. Elle est cependant obtenue immédiatement si l'on défini la mesure de Lebesgue comme restriction de la mesure extérieure de Lebesgue à $\mathcal L(\mathbf R)$.

Donc oui, la preuve présentée est correcte modulo les trous à combler. Pour ta deuxième question : je ne crois pas qu'on puisse se passer de la régularité de la mesure, par contre le lemme d'Urysohn n'est nécessaire que lorsque l'on regarde des espaces $L^p$ sur des espaces topologiques plus généraux que $\mathbf R^n$. Sur $\mathbf R^n$ on peut simplement utiliser des fonctions affines par morceaux sans démontrer le lemme d'Urysohn en toute généralité..