Intégrale (très) difficile

totem · July 2018

Bonjour,
dans un bouquin j'ai trouvé (sans corrigé bien sûr !!) :

Calculer intégrale de 1 à +oo de 1/(x⁵-1)^1/3.

L'intégrale converge bien sûr,mais alors pour le calcul...j'ai essayé des changements de variables u= 1/x, u = x⁵-1
Rien n'y fait, et l'intégrale devient encore pire à calculer !
Par parties je ne vois pas trop non plus.

Comment fait-on dans ce cas là ?
Ou alors les auteurs du livre ont pris des substances illicites ;-)

PS: Wolfram donne une solution avec la fonction Gamma, des fonction hypergéométriques...bref l'artillerie lourde !

gebrane · July 2018

Dans le bouquin l'auteur a donné quoi comme valeur de cette intégrale

Fin de partie · July 2018

Je pense qu'on peut se ramener à un calcul de fonction Bêta d'Euler en commençant par le changement de variable y=1/x pour se ramener à l'intervalle [0,1].

Tu peux essayer de voir ce que donne le changement de variable $y=1/(x5-1)^{1/3}$

totem · July 2018

@gebrane : il ne donne rien cet ex n'est pas corrigé...comme par hasard !
Livre de MPSI...mais d' il y a 20 ans 8-)

@FdP: je crois (mais à confirmer ) que c'est encore pire...on passe alors aux racines cinquièmes !

Peut-être du côté des intégrales abéliennes, mais je ne maîtrise pas au delà degré 2 sous le radical...

Guego · July 2018

Maple donne : $\dfrac{\pi\Gamma(\frac{2}{3})}{5\sin(\frac{2\pi}{15})\Gamma(\frac{13}{15})\Gamma(\frac{4}{5})}$.

totem · July 2018

Oui une expression fort sympathique...c'est pas possible qu'ils aient mis ça dans un livre de math sup !!!

Guego · July 2018

Ça peut se simplifier en $\dfrac{1}{5} B(\frac{2}{15},\frac{2}{3})$, avec $B$ la fonction bêta.

totem · July 2018

C'est pas des intégrales elliptiques ces bidules là ??

Il y a aussi cette intégrale à calculer dans le bouquin :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(1%2F+((2x-1)%5E3*(x(x-1)%5E2)%5E(1%2F3))+from+1to+infinite

Ils sont givrés les auteurs ::o enfin là l'expression du résultat est tout de même plus simple! J'en déduis que certains auteurs de bouquins ne résolvent même pas les exercices qu'ils posent, ce n'est pas possible autrement...

P. · July 2018

Tu poses $u=x^5-1$ et tu atterris sur $$\frac{1}{5}\int_0^{\infty}\frac{u^{\frac{2}{3}-1}du}{(1+u)^{\frac{4}{5}}}.$$ Apres cela tu utilises la formule qui sert tout le temps
$$\int_0^{\infty}\frac{u^{a-1}du}{(1+u)^{a+b}}=B(a,b)..$$

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