Convexité

Bonjour,

Je me place sur $U = \R_+^* \times \R$, avec $f(x,y) = \frac{y^2}{x}$.

On a $\nabla f =
\begin{pmatrix}
-\frac{y^2}{x^2} \\
\frac{y}{x} \\
\end{pmatrix}
$
donc $\nabla^2 f =
\begin{pmatrix}
\frac{2y^2}{x^3} & \frac{2y}{x^2} \\
\frac{2y}{x^2} & \frac{2}{x} \\
\end{pmatrix}
$.

Le déterminant de la Hessienne est nul, et la trace $\tau(x,y)$ est $\ge 0$.
Les valeurs propres sont donc 0 et la trace $\tau(x,y)\ge0$.
Ceci implique que $f$ est convexe.

En effet, restreignons à une droite : $x_t = a t + b$ et $y_t = c t + d$.
La fonction $f_D : t \mapsto f(x_t,y_t)$ a pour dérivée seconde : $
f''_D(x_t,y_t) =
\begin{pmatrix}
a & c \\
\end{pmatrix}
\cdot
\nabla^2 f
\cdot
\begin{pmatrix}
a \\ c \\
\end{pmatrix}
\ge 0
$
La fonction $f_D$ est donc bien convexe, donc $f$ aussi.

Désolé dans ce cas, car ce n'est pas marqué dans mon cours ce qu'est une fonction convexe définie ailleurs que sur un convexe (en particulier connexe !) 8-)