Équation différentielle

gebrane · July 2018

Bonjour
Je viens d'avoir sous la main (j'aide un ami à se préparer aux concours) l'exercice suivant.

Étudier l'existence d'une solution (edit, un oubli, non triviale) dérivable sur $\R$ de l’équation $$(x^2-1) g'(x)+2(ax +b)g(x)= 0,$$ où $a,b$ sont des réels. Vu le chaud et le froid dans ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1674656,1676548#msg-1676548 j’espère ne pas raconter des bêtises à mon ami (je vais travailler cet exercice dès ce soir).

Poirot · July 2018

Méthode usuelle : on étudie les solutions sur $]-\infty,-1[, ]-1,1[$ et $]1, +\infty[$, puis on regarde si on peut raccorder en $-1$ et en $1$.

gebrane · July 2018

"Of course" Poirot
Mais la discussion sur les paramètres a et b a fait couler beaucoup d'encre dans l'autre fil, j'ai bien peur d'oublier un cas. Le soir je verrais.

MrJ · July 2018

Les solutions de l'équation différentielle sur chacun des trois intervalles $]-\infty -1[$, $]-1,1[$ ou $]1,+\infty[$ sont
$$y(x)=\lambda\cdot|x-1|^{-a-b}\cdot |x+1|^{b-a}\quad\text{avec}\quad \lambda\in\mathbb{R}.$$
Il faut ensuite distinguer selon les valeurs des paramètres. Sans avoir fait les calculs et si je n'ai pas fais d'erreurs, je pense que
- Si $-a-b>1$ et $b-a>1$, l'espace des solutions sur $\mathbb{R}$ est de dimension $3$.
- Si ($-a-b=1$ et $b-a>1$) ou ($-a-b>1$ et $b-a=1$), l'espace des solutions sur $\mathbb{R}$ est de dimension $2$.
- Si $-a-b=1$ et $b-a=1$, l'espace des solutions sur $\mathbb{R}$ est de dimension $1$.
- Sinon, l'espace des solutions sur $\mathbb{R}$ est de dimension $0$.