Référence pour un oral ENS

Si je comprends bien l'idée de totzen: $(T_n>(1+\varepsilon) n)$ est réalisé lorsque que la famille $(X_{1,n},X_{2,n},\ldots,X_{\lfloor (1+\varepsilon)n\rfloor})$ n'est pas génératrice de $(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^n$ donc appartiennent à un hyperplan de $(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^n.$

On décompose alors l'événement en réunion intersections d'événements, puis par indépendance et sous-additivité il suffit de connaitre $P(X_{1,n}\in H)$ où $H$ est un hyperplan.

On devrait obtenir un truc du genre $P\bigl((T_n>(1+\varepsilon) n)\bigr)\le \sum_{H\in\mbox{ensemble dse hyperplans de }(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^n}P(X_{1,n}\in H)^{\lfloor (1+\varepsilon)n\rfloor}$

EDIT: Ok pour le nombre d'hyperplans de $(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^n$, je crois qu'on a correspondance biunivoque entre les hyperplans de $(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^n$ et les droites de $((\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^n)^*$ (le dual), qui elles-mêmes sont en correspondance biunivoque avec les vecteurs non nuls, on en a bien $2^n-1.$

Un hyperplan de $E:=(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^n$ contient combien de points de $E$? Cela devrait régler le problème.

Bonjour,
J'indique la démarche que j'ai suivie, en omettant les détails des preuves de mes affirmations.

On a: $\forall k\in [\![0;n-1]\!],\:\: \Pr (T_n \leqslant k) =0 $
Ainsi, $\forall \varepsilon >0 , \forall n \in \N \:\:\:\Pr (\vert \dfrac {T_n}{n} -1\vert < \varepsilon)= \Pr\big( T_n<n(1+\varepsilon) \big)$
D'autre part , $\forall k \geqslant n ,\:\:\: \Pr(T_n \leqslant k) = \Pr \Big ( \text {rang} (X_{1,n }, X_{2,n}...X_{k,n}) =n \Big) = \displaystyle{ \dfrac {\text {card} \left\{ M \in \mathcal M_{n,k}(\mathbb F_2) \mid \text{rang} (M) =n\right \}}{\text {card } (\mathcal M_{n,k}(\mathbb F_2))}=\prod _{i=0}^{n-1} (1- \dfrac 1{2^{k-i}})}$
Soit $\varepsilon >0$ et $k$ la partie entière de $n(1+\varepsilon)$. Alors avec les deux relations précédentes, on obtient:
$\Pr (\vert \dfrac {T_n}{n} - 1 \vert <\varepsilon) \geqslant \displaystyle{\prod _{i=0} ^{n-1} (1-\frac 1{2^{n\varepsilon +i}})}$ et la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty $, de ce dernier produit vaut $1$.
Cela donne le résultat demandé.
Amicalement,