Famille sommable

Bonjour.

L'exercice suivant me pose problème. J'arrive sans problème à montrer le lemme avec une comparaison par une intégrale, mais je ne vois pas comment en déduire la sommabilité de la famille. Merci d'avance pour vos indications.


Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites positives telles que les séries de termes généraux $a_n^2$ et $b_n^2$ convergent.

Montrer que la famille $(\dfrac{a_nb_p}{n+p})_{n\geq1, p\geq 1}$ est sommable.

On pourra commencer par montrer le lemme: $\displaystyle{\sum_{k=1}^n{\dfrac{1}{(m+k)\sqrt{k}}}}\leq \dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tous $m\geq 1$ et $n\geq 1$.

Mroc