S(R^n) et D(R^n)
Bonjour
je veux montrer que la fonction $f(x)= e^{-|x|^2}$ est un élément de $S(\R^n)$ mais pas de $\mathcal{D}(\R^n)$.
pour voir que $f \in S(\R^n)$ il suffit que $f \in L^1_{loc}(\R^n)$ et il existe un polynôme $P$ tel que pour tout $x \in \R^n: |f(x)|\leq P(x)$.
D'abord il est clair que $f \in L^1_{loc}(\R^n)$ ensuite quelque soit le polynôme $P$ on a $\lim_{|x| \to +\infty} \dfrac{f(x)}{P(x)}=0$. On conclut que $f \in S(\R^n)$.
Vous pensez quoi ?
Pour voir que $f$ n'est pas une fonction test, comme elle est de classe $C^{\infty}(\R^n)$ il faut voir si elle n'est pas à support compact et c'est sur ce point que je sèche. Comment voir que $f$ n'est pas à support compact ?
Merci d'avance
je veux montrer que la fonction $f(x)= e^{-|x|^2}$ est un élément de $S(\R^n)$ mais pas de $\mathcal{D}(\R^n)$.
pour voir que $f \in S(\R^n)$ il suffit que $f \in L^1_{loc}(\R^n)$ et il existe un polynôme $P$ tel que pour tout $x \in \R^n: |f(x)|\leq P(x)$.
D'abord il est clair que $f \in L^1_{loc}(\R^n)$ ensuite quelque soit le polynôme $P$ on a $\lim_{|x| \to +\infty} \dfrac{f(x)}{P(x)}=0$. On conclut que $f \in S(\R^n)$.
Vous pensez quoi ?
Pour voir que $f$ n'est pas une fonction test, comme elle est de classe $C^{\infty}(\R^n)$ il faut voir si elle n'est pas à support compact et c'est sur ce point que je sèche. Comment voir que $f$ n'est pas à support compact ?
Merci d'avance
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Réponses
Est-ce que $\lim_{|x| \to +\infty} \dfrac{f(x)}{P(x)}=0$ est une condition nécessaire ou bien une condition suffisante pour conclure qu'on peut majorer une fonction $f$ par un polynôme $P$?
Je redis donc d’après toi $x\to 1$ , $x\to x$ sont dans $S(\R)$ ?, il n' y a nullement besoin d'un expert
Dans la définition de floyd, si tu prends $\alpha=\beta=0$, tu vois qu’une condition nécessaire d’appartenance à $\mathscr{S}(\R^n)$ est d’être « nulle à l’infini », ce qui n’est pas le cas d’une fonction constante non nulle.
Voici un exemple de fonction facile à construire qui décroît plus vite que tout polynôme mais dont la dérivée n'est pas bornée : $f:x\mapsto\mathrm{e}^{-x^2}\sin\mathrm{e}^{x^4}$.
Tu as le droit de savoir pourquoi j'ai dit que c'est n'importe quoi!
Si tu regardes calmement la définition de l'espace de $S(\R^n)$ tu peux remarquer qu'il s'injecte dans tous les espaces $L^p(\R^n)$ et les premières fonctions à écarter donc sont les polynômes.
Le contre exemple que je t'ai donné, par ta soi-disant condition suffisante, est basique :$f(x)=P(x)=1\forall x\in\R$ tu as bien $f\in L_{loc}(\R) $ et $|f(x))|\leq P(x),\, \forall x$
Gebrane et Philippe Malot ont déjà essayé de te faire remarquer que la fonction constante égale à $1$ était localement intégrable (car elle est continue) et bornée par un polynôme (le polynôme constant égal à $1$ par exemple ?). Pourtant elle n'est pas dans $\mathscr{S}(\R)$ parce qu'une fonction de $\mathscr{S}(\R)$ est à décroissance rapide : quand on la multiplie par n'importe quel polynôme, la limite du produit à l'infini est $0$. Idem pour la fonction $g:x\mapsto x$.
La fonction $f:x\mapsto\mathrm{e}^{-x^2}\sin\mathrm{e}^{x^4}$ est localement intégrable parce qu'elle est continue, elle est majorée par un polynôme et mieux, elle est à décroissance rapide (pourquoi ?) ; pourtant elle n'est pas dans $\mathscr{S}(\R)$ parce que sa dérivée ne tend pas vers $0$.
Comme la définition de l'espace de Schwartz fait intervenir toutes les dérivées à tout ordre, une condition qui ne porte que sur la fonction et pas sur ses dérivées a peu de chances d'être correcte.
Je crois que mati a simplement mélangé ces pinceaux.
On va jouer aux devinettes. Soit $f\in L^1_{loc}(\R^n) $ et regardons le texte mathématique
Si on ajoute un accent ' quelque part, son texte devient juste :-)