Équation fonctionnelle
Je suis à la recherche de toutes les fonctions $f,$ disons analytiques dans un voisinage $I$ de zéro, telles qu'il existe des fonctions $g$ et $h$ satisfaisant pour tous $x,y$ de $I$ à l'équation fonctionnelle
$$xf'(x)f(y)-yf'(y)f(x)=(x-y)g(x)h(y).$$ Exemples $f(x)=e^{x},\ f(x)=(1+x)^n,\ f(x)=(1-x)^{-\lambda}.$ J'ai cité des $f$ dont le développement en série entière est à coefficients $\geq 0.$ Ils sont en fait les $f$ qui m'inteéressent particulièrement.
Merci de votre intérêt.
$$xf'(x)f(y)-yf'(y)f(x)=(x-y)g(x)h(y).$$ Exemples $f(x)=e^{x},\ f(x)=(1+x)^n,\ f(x)=(1-x)^{-\lambda}.$ J'ai cité des $f$ dont le développement en série entière est à coefficients $\geq 0.$ Ils sont en fait les $f$ qui m'inteéressent particulièrement.
Merci de votre intérêt.
Réponses
-
Il est intéressant de réduire ses ambitions de supposer $f>0$ En posant A=g/f, B=h/f et $K(x)=xf'(x)/f(x)$ l'équation fonctionnelle devient
$$\frac{K(y)-K(x)}{y-x}=A(x)B(y).$$ Et ça, j'ai l'impression que cela n'est vrai que si $K$ est une homographie. Mais je patauge. -
Bonjour,
En prenant la relation du premier message en $x=0$ puis en $y=0$ on établit que $g(x) h(0) = g(0) h(x)$ pour tout $x.$ On peut alors simplifier le problème car $h$ est nécessairement proportionnelle à $g.$ -
Un $K$ qui vérifie ça préserve le birapport.
-
Les équations fonctionnelles ont-elles des applications en physiques par exemple ou autre part que pour faire des problèmes pour les OIM ?
-
Merci Gabu.
-
Bonjour,
Des équations fonctionnelles apparaissent en physique dans divers domaines : j’en ai recontrées en mécanique des fluides et dans les changements de phases par exemple évaporation d’un liquide sous le vent, rhéologie, ... d’autres applications en économies sont courantes. Cherche sur le net.
En fait c’est beaucoup plus courant qu’on ne croit. Au lieu de faire une hypothese sur une certaine relation, on peut écrire les équations de la physique pour une relation quelconque : et on tombe sur toutes sortes d’équations fonctionnelles et différentielles. -
Merci pour les infos
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 21
+11 Invités