Continuité et suite

gauss · July 2018

Bonjour

Soit f une fonction définie sur R+ à valeurs réelles. On suppose f croissante sur R+.

On demande de prouver que f est continue en 0 si et seulement si la suite des f(1/n) converge vers f(0) ce qui ne pose pas problème.

Si on enlève à f le fait d'être croissante, le résultat tombe en défaut je pense (dans l'implication réciproque je me sers de la croissance).

Je n'arrive pas à exhiber un exemple de fonction f définie sur R+ telle que : [si f(1/n) converge vers f(0) , alors f est continue en 0] soit fausse.

Un petit coup de pouce svp ?

Bonne soirée

gauss

Math Coss · July 2018

Tu peux essayer de faire en sorte que $f(1/n)=0$ pour tout $n\ge1$.

Dans ton bagage de contre-exemples de base, tu n'as pas une fonction standard qui n'a pas de limite en $0$ ? Je veux dire, vraiment pas de limite, quoi : tout réel de $[-1,1]$ est la limite d'une suite $(f(x_n))_{n\in\N}$ pour $(x_n)_{n\in\N}$ qui tend vers zéro.

gebrane · July 2018

Tu prends $f(x)=\sin(\pi /x)$ si $x\ne 0$ et $f(0)=0$

Continuité et suite

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