Continuité et suite
Bonjour
Soit f une fonction définie sur R+ à valeurs réelles. On suppose f croissante sur R+.
On demande de prouver que f est continue en 0 si et seulement si la suite des f(1/n) converge vers f(0) ce qui ne pose pas problème.
Si on enlève à f le fait d'être croissante, le résultat tombe en défaut je pense (dans l'implication réciproque je me sers de la croissance).
Je n'arrive pas à exhiber un exemple de fonction f définie sur R+ telle que : [si f(1/n) converge vers f(0) , alors f est continue en 0] soit fausse.
Un petit coup de pouce svp ?
Bonne soirée
gauss
Soit f une fonction définie sur R+ à valeurs réelles. On suppose f croissante sur R+.
On demande de prouver que f est continue en 0 si et seulement si la suite des f(1/n) converge vers f(0) ce qui ne pose pas problème.
Si on enlève à f le fait d'être croissante, le résultat tombe en défaut je pense (dans l'implication réciproque je me sers de la croissance).
Je n'arrive pas à exhiber un exemple de fonction f définie sur R+ telle que : [si f(1/n) converge vers f(0) , alors f est continue en 0] soit fausse.
Un petit coup de pouce svp ?
Bonne soirée
gauss
Réponses
-
Tu peux essayer de faire en sorte que $f(1/n)=0$ pour tout $n\ge1$.
Dans ton bagage de contre-exemples de base, tu n'as pas une fonction standard qui n'a pas de limite en $0$ ? Je veux dire, vraiment pas de limite, quoi : tout réel de $[-1,1]$ est la limite d'une suite $(f(x_n))_{n\in\N}$ pour $(x_n)_{n\in\N}$ qui tend vers zéro. -
Tu prends $f(x)=\sin(\pi /x)$ si $x\ne 0$ et $f(0)=0$Le 😄 Farceur
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres