Fourier

mati · July 2018

Bonjour à tous
soit $(f_n)$ une suite qui converge dans $L^1(\R^n)$ vers $f$ alors $F f_n$ converge uniformément vers $Ff$ dans $\R^n$. avec $Ff$ désigne la transformée de Fourier de $f$.
je veux montrer ce résultat. ça revient à montrer que $||Ff_n - Ff||_{\R^n} \to 0$ quand $n \to +\infty$. Quelle norme de $\R^n$ choisir?
Merci d'avance.

skilveg · July 2018

Elles sont toutes équivalentes donc tu peux prendre celle que tu veux.

Edit : il me semble que tu n'as pas besoin de choisir une norme sur $\mathbb{R}^n$ puisque tu vas utiliser $\|\cdot\|_{\infty,\mathbb{R}^n}$.

gebrane · July 2018

Je ne sais pas pourquoi tu veux redémontrer le théorème de Riemann-Lebesgue qui dit que la T.F est une application linéaire continue de $L^1(\R^n) \to C_0(\R^n)$

mati · July 2018

Tu as raison Gebrane il suffit d'utiliser la continuité de Fourier pour arriver au résultat que je cherche.
Où je peux trouver une démonstration simple du théorème de Riemann-Lebesgue?

skilveg · July 2018

Le fait que $\|\mathscr{F}f\|_{\infty}\leq \|f\|_1$ est une conséquence immédiate de la définition et de l'inégalité triangulaire. Essaie de l'écrire et vois si ça te suffit !

Tryss · July 2018

C'est plutôt une conséquence de l'inégalité de Hölder non?

Cyrano · July 2018

Non, c'est trivial. $$\sup_{y\in \R} \left| \int_{\R} e^{ixy}f(x)dx \right| \leq \int_{\R} \sup_{y\in \R} \left| e^{ixy}f(x) \right| dx = \int_{\R} |f(x)|dx.$$

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