Borne supérieure fonctionnelle

etanche · July 2018

Bonjour

$a<b ,\ E=C^{o}([a,b],R)$ avec la norme uniforme. $B$ la boule unité fermée de $E$. Montrer que $$\sup_{h \in B }\int_{a}^{b}hf=\int_{a}^{b}|f|
$$ Merci

Poirot · July 2018

Comme d'habitude on commence par montrer que cette borne supérieure est majorée par la quantité de droite, puis on construit une suite d'éléments de $B$ de sorte que les quantités de gauche tendent vers celle de droite. Pour cela, il faut construire des éléments de $B$ qui épousent de plus en plus la fonction $x \mapsto \text{sgn}(f(x))$.

etanche · July 2018

Est-ce que c'est suite de fonctions est dans B

$$h_{n}(x)=\frac{2}{\pi}\arctan(nf(x))$$

fait l'affaire ?

gebrane · July 2018

Oui ça marche. A toi de savoir pourquoi !

Algèbre · July 2018

Cela devrait marcher avec des fonctions en en esclalier dont on relirait les marches avec des fonctions affines.

Sinon indice : par quoi est bornée la derivée de arctan?

gebrane · July 2018

@algebre
On utilise simplement le théorème de convergence dominée

Borne supérieure fonctionnelle

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Bonjour!

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