$a<b ,\ E=C^{o}([a,b],R)$ avec la norme uniforme. $B$ la boule unité fermée de $E$. Montrer que $$\sup_{h \in B }\int_{a}^{b}hf=\int_{a}^{b}|f|
$$ Merci
Comme d'habitude on commence par montrer que cette borne supérieure est majorée par la quantité de droite, puis on construit une suite d'éléments de $B$ de sorte que les quantités de gauche tendent vers celle de droite. Pour cela, il faut construire des éléments de $B$ qui épousent de plus en plus la fonction $x \mapsto \text{sgn}(f(x))$.
Réponses
$$h_{n}(x)=\frac{2}{\pi}\arctan(nf(x))$$
fait l'affaire ?
Sinon indice : par quoi est bornée la derivée de arctan?
On utilise simplement le théorème de convergence dominée