Propagation dans une grille

Pommeh · July 2018

Bonjour, j'espère être dans la bonne section, voici mon problème :

Je pars sur une grille de dimension N.
Parmi cette grille j'ai X case(s) "infectée" répartie(s) de façon aléatoire.
A chaque tour T une case "infecte" les cases adjacentes qui ne le sont pas.

J'aimerais la fonction qui pour un X donné dans une grille de dimension N me donne à l'instant T le nombre moyen de cases infectées.
Cette fonction devrait donner une courbe de [large]G[/large]auss.
Merci d'avance.

[Carl Friedrich Gauss (1777-1855) prend toujours une majuscule. AD]

Poirot · July 2018

Comme d'habitude en probabilités, on ne va rien pouvoir dire si tu n'explicites pas ton aléa, ici le passage "répartie(s) de façon aléatoire".

Pommeh · July 2018

Dans une grille de dimension N=3, si j'ai X=2 case infectée au départ, cela me donne 36 combinaisons de départ. Au tour suivant le nombre de cases infectées dépendra de la combinaison choisie. Ce que je souhaiterais c'est que la fonction me donne la moyenne des cases nouvellement infectées à chaque tour.

Par exemple si parmi les 36 combinaisons de départ, 16 d'entre elles entraînent la contaminations au tour T=1 de 5 cases, 10 de 3 cases et 10 de 4 cases. f(1) = (5x16+3x10+4x10)/36 = 4.16

Poirot · July 2018

Tu n'as pas compris ma remarque, tu dis qu'au départ, $X$ cases sont contaminées de manière aléatoire, il faudrait dire selon quelle loi de probabilité, sinon on ne peut pas t'aider.

Pommeh · July 2018

Ce n'est pas X qui est aléatoire mais la répartition de ce X dans la grille. C'est donc la combinaison qui est aléatoire et elles ont toutes autant de chances de se produire qui est 1/C^x_n

Poirot · July 2018

Tu viens seulement maintenant de préciser ta loi de probabilité.

P. · July 2018

Si $X$ est connu, il n'y a plus rien d'aleatoire, car les cases voisines d'une case infectee le deviennent automatiquement. Si $X_T$ est l'ensemble {pas seulement le nombre} des cases infectees a l'instant $T$ alors $X_1=f(X)$ ou $f$ est une fonction compliquee mais deterministe, et $$X_T=f\circ\ldots\circ f(X)..$$ Je suppose qu'une case infectee le reste a jamais, cad $X\subset f(X)?$ Si $|X|$=1 en ignorant les effets de bord on a $|X_T|1+2T+2T^2$ ce quidonne deja une petite minoration dans le cas general. Finalement, je ne comprends pas pourquoi tu dis 'cela devrait donner une loi de Gauss'.

Probleme interessant. Reflechissons encore, mais les collegues qui etudient la percolation devraient connaitre des techniques pour ce probleme

Lucas · July 2018

Bonjour
On peut mener certains calculs si on s'intéresse effectivement à l'espérance.

Imaginons que la grille est torique pour simplifier. Notons $$
R_{i,j}(t)=
\begin{cases}
1 &\text{ si la case $(i,j)$ est contaminée à l'instant $t$},\\
0 &\text{ sinon.}
\end{cases}
$$ Tu cherches $\mathbb{E}[R_{i,j}(t)]$, qui ne dépend pas de $t$ si la grille est torique.
Alors on a $R_{i,j}=0$ si et seulement si il n'y a pas de gens initialement infectés dans la "boule" de centre $(i,j)$ et de rayon $t$. Ainsi $$
\mathbb{P}(R_{i,j}(t)=0)=\frac{\binom{n-a(t)}{k}}{\binom{n}{k}},
$$ où $k$ est le nombre de cellules contaminées initialement et $a(t)$ est la taille de la "boule" de centre $(i,j)$ et de rayon $t$, soit $2t(t+1)+1$ (sauf erreur).

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