...mais pour ce sujet ici ma méthode est géométrique et d'ailleurs ce sujet ne devrait pas être situé dans cette rubrique et c'est parce que l'auteur ne la pas écrit en géométrie qu'il ne voit pas l'intérêt de visualiser le cercle trigo et de trouver facilement la réponse à sa question
il suffit de voir que $\frac {\pi }{5}$ est la division d'un cercle en dix parties pour que tout de suite on visualise que le nombre d'or va faire des miracles dans la solution à rechercher
Avec l'idée de moduloP, la somme du premier et du dernier s'annule aussi la somme de deuxième et du troisième
Cette question me rappelle un exercice: Montrer que l’équation $\tan(x)+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0$ admet exactement 8 solutions sur $]0,\pi[$. On reconnait $\frac {\pi}5$ comme une solution.
Question: peut-on connaitre les 7 autres qui restent de façon exacte?
je me suis d'ailleurs excusé de ma méthode et je suis sincère (je l'ai dit déjà)
d'ailleurs même certaines moyennes sont aussi géométriques et on retrouve toujours le cercle trigonométrique bon je trouvais plus simple ma méthode car après tout elle ne demande pas de savoir ce que c'est une tangente mais juste de diviser un cercle en dix parties
Réponses
il faut travailler ton nombre d'or $\varphi =\frac {1+\sqrt {5}}{2}$et un peu ta trigo
$tan \left( \frac {\pi}{5}\right) +tan \left( \frac {2.\pi}{5}\right)+tan \left( \frac {3.\pi}{5}\right)+tan \left( \frac {4.\pi}{5}\right)=0$
...bon je te montre comment tu trouve 0
tout ce que tu dois savoir ici c'est écrire tan avec sin et cos
puis savoir écrire cos(2x) et sin(2x)
puis savoir qu' ont de spéciaux les angles de 36° et 54°
et enfin qu'a t-il de si spécial le nombre d'or
$tan \left( \frac {\pi}{5}\right) =\frac {sin \left(\frac {\pi}{5}\right)}{cos \left(\frac {\pi}{5}\right)}$
$sin \left( \frac {\pi}{5}\right)=sin(36°)$
$cos \left(\frac {\pi}{5}\right)=cos(36°)$
$tan \left( \frac {2.\pi}{5}\right)=\frac {sin \left(\frac {2.\pi}{5}\right)}{cos \left(\frac {2.\pi}{5}\right)}$
$sin \left(\frac {2.\pi}{5}\right)=sin(72°)=sin(2.36°)=2.cos(36°).sin(36°)$
$cos \left(\frac {2.\pi}{5}\right)=cos(72°)=cos(2.36°)=2.cos^2(36°)-1$
$tan \left( \frac {3.\pi}{5}\right)=\frac {sin \left(\frac {3.\pi}{5}\right)}{cos \left(\frac {3.\pi}{5}\right)}$
$sin \left(\frac {3.\pi}{5}\right)=sin(108°)=sin(2.54°)=2.cos(54°).sin(54°)$
$cos \left(\frac {3.\pi}{5}\right)=cos(108°)=cos(2.54)=2.cos^2(54°)-1$
$tan \left( \frac {4.\pi}{5}\right)=\frac {sin \left(\frac {4.\pi}{5}\right)}{cos \left(\frac {4.\pi}{5}\right)}$
$sin \left(\frac {4.\pi}{5}\right)=sin(144°)=sin(2.72°)=2.cos(72°).sin(72°)$
$cos \left(\frac {4.\pi}{5}\right)=cos(144°)=cos(2.72°)=2.cos^2(72°)-1$
$cos(36°)=\frac {\varphi}{2}$
$sin(36°)=\frac {\sqrt {3-\varphi}}{2}$
$cos(54°)=\frac {\sqrt {3-\varphi}}{2}$
$sin(54°)=\frac {\varphi}{2}$
évidemment oui!
il suffit de voir que $\frac {\pi }{5}$ est la division d'un cercle en dix parties pour que tout de suite on visualise que le nombre d'or va faire des miracles dans la solution à rechercher
Je présente donc mes excuses sincères
Avec l'idée de moduloP, la somme du premier et du dernier s'annule aussi la somme de deuxième et du troisième
Cette question me rappelle un exercice: Montrer que l’équation $\tan(x)+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0$ admet exactement 8 solutions sur $]0,\pi[$. On reconnait $\frac {\pi}5$ comme une solution.
Question: peut-on connaitre les 7 autres qui restent de façon exacte?
d'ailleurs même certaines moyennes sont aussi géométriques et on retrouve toujours le cercle trigonométrique bon je trouvais plus simple ma méthode car après tout elle ne demande pas de savoir ce que c'est une tangente mais juste de diviser un cercle en dix parties