Espace vectoriel normé

Sur $\R$, $d(x,y)= \mid x - y \mid$ et $d'(x,y) = \mid \arctan{x} - \arctan{y} \mid$

Il faut faire attention : il y a d'un côté la notion de "normes équivalentes" et il y a quelques notions de "distances truc-ment équivalentes" aussi (voir ici). On va dire que deux distances sont topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie : L'ensemble des boules ouvertes pour une certaine distance $d$ forme une base de topologie sur l'ensemble $E$ considéré, la topologie engendrée par cette base de topologie est appelée "topologie naturelle de l'espace métrique $(E,d)$". Si on dispose d'une autre distance $\delta$ sur le même ensemble $E$, on a une deuxième structure d'espace métrique $(E, \delta)$ sur $E$, donc une autre base de topologie sur $E$ formée par les boules ouvertes pour la distance $\delta$, et si les deux topologies engendrées par $d$ et $\delta$ sont les mêmes, on dit que $d$ et $\delta$ sont des distances topologiquement équivalentes. Donc en fait ce n'est pas une proposition, mais une définition.


S'il n'est pas question de ça ici, c'est que tu confonds norme et distance.

Homo Topi écrivait :

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> Donc il n'y a pas de contre-exemple à ta proposition, parce que c'est une définition et pas une proposition.

Je ne suis pas d'accord !

@Poli
Regarde ton cours et informe nous sur la définition adoptée pour 2 distances équivalentes.

Parfait
On suppose que les distances sont topo-equivalentes
, que $d_1$ est issue de la norme $||.||_1$ et $d_2$ est issue de la norme $||.||_2$
Il suffit de remarquer que $B_2(0,1)$ de $(E,||.||_2)$ est un voisinage de 0 dans $(E,||.||_2)$ et aussi dans $(E,||.||_1)$ Donc $B_2(0,1)$ contient une $B_1(0,\alpha)$ ( pour un certain $\alpha>0$) d'où facilement $\alpha ||.||_2\leq ||.||_1$
Tu obtiens l'autre sens de la même façon

Dans ce cas que cherches tu au juste? puisque le premier intervenant t' a donné un contre exemple

Gebrane : Si tu n'es pas d'accord avec moi, j'ai peut-être mal exprimé ce que je voulais dire.

J'ai mis un lien vers un article Wikipédia dans mon premier message. Il y a en effet plusieurs notions d'équivalence pour des distances. Celle dont moi je parlais, c'est l'équivalence topologique. Celle dont parlait poli12 (avec deux constantes $C_1$ et $C_2$) est souvent appelée "équivalence des distances" tout court, et Lipschitz-équivalence dans l'article. Ce sont deux notions différentes, j'ai rappelé la définition de la première et poli12 celle de la seconde.

Je voulais dire que "Si deux distances définissent sur un même espace vectoriel une même structure topologique alors ces distances sont équivalentes." est justement la définition d'équivalence des distances, et non pas une proposition, mais j'avais en tête qu'on parle de l'équivalence topologique. Au moment où j'écrivais ça, poli12 n'avait pas encore précisé qu'il parlait d'une autre notion d'équivalence de distances.

Pour remettre les choses au point : J'ai ici dans mon bouquin une proposition qui affirme que deux distances équivalentes (sous-entendu donc : Lipschitz-équivalentes, cf la définition de poli12) sont topologiquement équivalentes (cf ma définition). Et juste en dessous, c'est écrit que la réciproque est fausse. Comme contre-exemple, on peut déjà vérifier celui de Boole et Bill (toute première réponse dans ce topic), et mon bouquin en donne un autre :

$d(x,y) = |x-y|$ et $d'(x,y) = \text{min} \{1, d(x,y)\}$ sont deux distances sur $\mathbb{R}$ qui sont topologiquement équivalentes mais pas Lipschitz-équivalentes. C'est un petit exercice si on veut montrer qu'elles sont topologiquement équivalentes, mais ce n'est pas ce pourquoi poli12 est venu ici. Pour montrer qu'elles ne sont pas équivalentes : l'une est bornée, l'autre non.