Série des restes d'une série alternée

Bonjour à tous.
Soit $\displaystyle\sum_{n\geq 0}(-1)^na_n$ une série alternée avec $(a_n)$ décroissante qui tend vers $0$. Le reste d'ordre $n$ s'écrit $$R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^ka_k=(-1)^{n+1}\underbrace{\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^{k+n+1}a_k}_{=b_n}
$$ La suite $(b_n)$ est positive et tend vers $0$. Il ne manque plus que la décroissance de $(b_n)$ pour dire que la série $\displaystyle\sum_{n\geq 0}R_n$ est alternée.
Ma question est : existe-t-il une telle suite $(a_n)$ pour laquelle la suite $(b_n)$ n'est pas décroissante ? Ça ne me parait pas clair car $b_{n+1}-b_n=-a_{n+1}+2a_{n+2}-2a_{n+3}+\dots$.
Merci !