Non-dérivabilité d'une fonction

Si $|x| < \delta$ on a $\frac{1}{n(1+nx^2)} > \frac{1}{n(1+n\delta^2)}$. On écrit alors pour tout $N \geq 1$, $$\frac{f(x)}{x} \geq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n(1+n\delta^2)}.$$ Or on a facilement $$\frac{1}{n(1+n\delta^2)} \geq \int_n^{n+1} \frac{dt}{t(1+t\delta^2)},$$ puis en sommant $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(1+n\delta^2)} \geq \int_1^{N+1} \frac{dt}{t(1+t\delta^2)} = \log(N+1) -\log(1+\delta^2(N+1)) + \log 2.$$

Il ne reste plus qu'à choisir judicieusement $N$ en fonction de $\delta$, par exemple $N=\left \lfloor \frac{1}{\delta^2} \right \rfloor$ pour montrer que l'on peut rendre $\frac{f(x)}{x}$ arbitrairement grand si $\delta$ est suffisamment petit.

C'est trop compliqué, on a simplement
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(1+nx^{2})}\longrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}=+\infty$ par convergence monotone

Sinon, par une majoration assez brutale :
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(1+nx^2)} \geq \sum_{n=1}^{ \lfloor \frac{1}{x^2} \rfloor} \frac{1}{n(1+nx^2)} \geq \sum_{n=1}^{ \lfloor \frac{1}{x^2} \rfloor} \frac{1}{2n}.$

Du coup, le terme de droite n'est pas majoré quand $x \to 0.$

Ici on peut faire de la convergence monotone sans le dire...
Les fonctions $u_n:x\mapsto \frac{1}{n(1+nx^2)}$ sont paires et décroissantes sur $\R^+$ donc, par limite simple, leur somme $S:x\mapsto \frac{f(x)}{x}$ l'est aussi et donc elle possède une limite en 0 par théorème de la limite monotone.
Si cette limite est un réel $L$ alors par monotonie et par somme de réels positifs, on a pour tout $x$ non nul et tout entier $N$ non nul $L \geq S(x) \geq \sum_{k=1}^{N} u_k(x)$.
Mais on peut passer à la limite lorsque $x$ tend vers 0 dans la somme de droite car toutes les fonctions sont continues et la somme est finie.
Donc pour tout entier $N$ non nul on a $L \geq \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}$ ce qui est absurde puisque la série harmonique diverge.
Ainsi la limite du quotient $ \frac{f(x)}{x}$ est infinie en 0, et donc $f$ n'y est pas dérivable.