Calcul d'une intégrale

As-tu essayé une intégration par parties ?

Pose $u=\log x$ et calcule la dérivée de $$u\longmapsto e^u\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^ku^k}{k!}.$$

J'ai comme une doute avec ta dernière formule : curieux que cela dépende aussi peu de $v..$

Ce ne serait pas plutôt $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$ ?

Oui, c'est $I_n=\mathrm e-nI_{n-1}$

Cette relation est toujours fausse. On obtient $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$.

Bonjour,

Soit $\displaystyle \int_{1}^{e} \ln^n x dx, n \in \N.$

La fonction $\displaystyle x \mapsto \ln^n x, x\in [1,e], n \in \N$ est définie et continue : l'intégrale existe.

On intègre par parties : $\displaystyle I_{n+1} = \int_{1}^{e} 1 \times \ln^{n+1} x dx = x \ln^{n+1} x \mid_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \times (n+1) {1 \over x} \ln^{n} x dx =e - (n+1) I_n, n \in \N.$

On calcule $\displaystyle I_0 =e-1.$ On cherche à résoudre la récurrence $\displaystyle I_{n+1} + (n+1) I_n = e, I_0=e-1.$
Une solution sans second membre est évidente : $\displaystyle (-1)^n n!.$ On cherche donc les solutions sous la forme $\displaystyle I_n = (-1)^n n! A_n.$ On a $\displaystyle A_0=e-1.$ On reporte : $\displaystyle (-1)^{n+1} (n+1)! A_{n+1} + (-1)^n (n+1) n! A_n = (-1)^n (n+1)! (-A_{n+1} + A_n) =e$ et donc $\displaystyle -A_{n+1} + A_n = {(-1)^n \over (n+1)!}e$ que l'on somme pour trouver : $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(-A_{k+1} + A_k) = \sum_{k=0}^{n-1}{(-1)^k \over (k+1)!}e = -A_n + A_0.$ On a établi que $\displaystyle A_n = e-1 - \sum_{k=0}^{n-1}{(-1)^k \over (k+1)!}e = -1 + \sum_{k=2}^{n}{(-1)^{k} \over k!}e.$

On a démontré que $\displaystyle I_n = \int_{1}^{e} \ln^n x dx = (-1)^n n! \Big[e \sum_{k=0}^{n}{(-1)^{k} \over k!} - 1\Big], n \in \N.$

Pour trouver un équivalent on transforme facilement cette expression car $\displaystyle e^{-1} = \sum_{k\geq 0}{(-1)^{k} \over k!} .$ On trouve alors $\displaystyle I_n = e\Big[{1 \over n} +n! \sum_{k \geq n+2} {(-1)^{k+n+1}\over k!} \Big].$ On a alors $\displaystyle {nI_n\over e} = 1 + (n+1)! \sum_{k \geq n+2} {(-1)^{k+n+1}\over k!} = 1+ \sum_{k \geq 0} {(-1)^k (n+1)! \over (k+n+2)!}.$ On montre immédiatement que $\displaystyle {(n+1)! \over (k+n+2)!} \leq {1 \over (n+2) k!}$ puisque $\displaystyle (k+n+2)! \geq k! (n+2)!$ et donc $\displaystyle |\sum_{k \geq 0} {(-1)^k (n+1)! \over (k+n+2)!}| \leq {e \over n+2} \to 0, (n \to +\infty).$

On a démontré que $\displaystyle I_n \sim {e \over n}, (n \to +\infty).$

Bonjour,

C'est vrai, ta méthode est plus rapide et élémentaire. La mienne donne aussi les termes asymptotiques successifs...

Non, P., je suis sûr d'avoir vu $v$ aussi dans l'intégrale juste avant de lire ta réponse.