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Itération d'une application

Envoyé par Chaurien 
Itération d'une application
il y a deux années
avatar
Bonjour.
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$, et soit $K=[a,b]$. Soit une application continue $f$ de $K$ dans $K$, et pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, on note $f^{~n}$ l'application itérée $f\circ f\circ ...\circ f$ ($n$ fois), avec $f^{0}=Id_{K}$.
Pour $n\in \mathbb{N}$, l'ensemble $f^{~n}(K)$ est un segment $[a_{n},b_{n}]$, avec $a_{n}\leq b_{n}$, éventuellement réduit à un singleton (et alors $a_{n}=b_{n}$). La suite des segments $f^{~n}(K)=[a_{n},b_{n}]$ est décroissante au sens de l'inclusion, et l'intersection de cette suite est un segment $\displaystyle J=\underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap }f^{~n}(K)=[a_{\infty },b_{\infty }]$ éventuellement réduit à un singleton.
Il me semble que $f(J)=J$ mais s'il n'est pas difficile de voir que $f(J)\subset J$ , je n'arrive pas à démontrer l'autre inclusion.
D'avance merci, et bonne journée de fête nationale.
Fr. Ch.
Re: Itération d'une application
il y a deux années
J'errais.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Math Coss.
Re: Itération d'une application
il y a deux années
avatar
Dans quel état winking smiley ?
Re: Itération d'une application
il y a deux années
avatar
@ Math Coss
En tout cas merci pour avoir cherché, mais tu vois comme c'est agaçant.
Re: Itération d'une application
il y a deux années
avatar
Bonjour

On a donc $[a_{n+1},b_{n+1}]=f([a_n,b_n])$. Alors $a_{\infty}$ est la limite de la suite croissante $(a_n)$ et $b_\infty$ est la limite de la suite décroissante $(b_n)$. Soit $x\in J$. On a $a_{n+1}\leq a_\infty\leq x \leq b_\infty\leq b_{n+1}$ pour tout $n$, donc $x \in f([a_n,b_n])$ pour tout $n$.
Re: Itération d'une application
il y a deux années
Serait-ce une propriété spécifique des intervalles / parties connexes / parties convexes ?
Re: Itération d'une application
il y a deux années
avatar
Je ne crois pas, où alors il faudrait préciser en quoi c'est "spécifique".


Si on prend $f=Id$ on a $f(J)=J$ pour tout $J$.
Re: Itération d'une application
il y a deux années
La question est un peu vague mais portait plutôt sur $\R$. Tu as utilisé le fait que $J$ est un intervalle, une propriété de connexité liée au théorème des valeurs intermédiaires. Est-ce « pour de bonnes raisons » ou juste par commodité ? Peut-on imaginer une fonction $f$ (non continue donc), disons de $[0,1]$ dans lui-même, dont l'ensemble $J$ associé n'est pas égal à son image ? Ou bien $f$ continue sur $[0,1]^2$ telle que... ?
Re: Itération d'une application
il y a deux années
avatar
J'ai fait la démonstration qui s'imposait vu les données, il y en a peut-être d'autres!

Pour l'instant je n'ai pas d'exemple avec une $f$ discontinue, mais je pense que ça existe, j'y réfléchirai encore.
Re: Itération d'une application
il y a deux années
Ah oui, je crois que je sais comment faire. Il suffit de trouver un $K$ dénombrable, ensuite on le plonge dans $[0,1]$ et on prolonge par l'identité en dehors de $K$.

On part de $f:\N\to\N$, $k\mapsto k+1$. On va faire en sorte que $0$ ait des antécédents par $f^p$ pour tout $p$ mais qu'aucun de ces antécédents n'aient une infinité d'antécédents. De la sorte, $0$ sera bien dans $J$ mais pas dans $f(J)$. On ajoute des points :
  • on ajoute un point $(1,-1)$ et on pose $f(1,-1)=0$ ;
  • on ajoute deux points $(2,-2)$ et $(2,-1)$ et on pose $f(2,-2)=(2,-1)$ et $f(2,-1)=0$ ;
  • on ajoute trois points $(3,-3)$, $(3,-2)$, $(3,-1)$ et on pose $f(3,-3)=(3,-2)$, $f(3,-2)=(3,-1)$, $f(3,-1)=0$ ;
  • etc.
Représentons la situation par un graphe orienté : un sommet par point de $K$, une arête de $x$ vers $f(x)$. Un sommet $x$ est dans $J$ si pour tout $p$, il existe un chemin de longueur $p$ aboutissant à $x$, et $f(J)$ est l'ensemble des extrémités d'une arête issue de $J$.

Les points bleus ne sont pas dans $J$ parce qu'ils n'ont qu'un nombre fini d'antécédents. Les points de $J$ sont en rouge et en orange, ceux de $f(J)$ en orange. Le point $0$ n'est pas dans $f(J)$.


Re: Itération d'une application
il y a deux années
Soit $x\in \bigcap\limits_n f^n(K)$. Pour tout entier naturel $n$, il existe $y_n\in f^n(K)$ tel que $x=f(y_n)$ (puisque $x\in f^{n+1}(K)$). Quitte à prendre une sous-suite, $(y_n)$ converge vers $z\in \bigcap\limits_n f^n(K)$. Par continuité de $f$, $f(z)=x$.
JLT
Re: Itération d'une application
il y a deux années
avatar
Soit $K_n=f^n(K)$. Soit $x\in \bigcap_n K_n$. Pour tout $n$, on a $x\in K_{n+1}=f(K_n)$ donc $f^{-1}(x)\cap K_n\ne \emptyset$. Comme une intersection décroissante de compacts non vides est non vide, on a $f^{-1}(x)\cap \bigcap_n K_n\ne \emptyset$, donc il existe $z\in \bigcap_n K_n$ tel que $f(z)=x$.
Re: Itération d'une application
il y a deux années
avatar
Merci beaucoup. Je suis rassuré, ce n'était pas évident.
Malheureusement, au jour d'aujourd'hui on ne peut donc poser ça en Math Spé PC ni PSI, puisque les propriétés des compacts, et le mot même de compact, ne figurent pas au programme de ces filières. Il reste MP - pour l'instant.
Bonne journée.
Fr. Ch.
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