Itération d'une application
Bonjour.
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$, et soit $K=[a,b]$. Soit une application continue $f$ de $K$ dans $K$, et pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, on note $f^{~n}$ l'application itérée $f\circ f\circ ...\circ f$ ($n$ fois), avec $f^{0}=Id_{K}$.
Pour $n\in \mathbb{N}$, l'ensemble $f^{~n}(K)$ est un segment $[a_{n},b_{n}]$, avec $a_{n}\leq b_{n}$, éventuellement réduit à un singleton (et alors $a_{n}=b_{n}$). La suite des segments $f^{~n}(K)=[a_{n},b_{n}]$ est décroissante au sens de l'inclusion, et l'intersection de cette suite est un segment $\displaystyle J=\underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap }f^{~n}(K)=[a_{\infty },b_{\infty }]$ éventuellement réduit à un singleton.
Il me semble que $f(J)=J$ mais s'il n'est pas difficile de voir que $f(J)\subset J$ , je n'arrive pas à démontrer l'autre inclusion.
D'avance merci, et bonne journée de fête nationale.
Fr. Ch.
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$, et soit $K=[a,b]$. Soit une application continue $f$ de $K$ dans $K$, et pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, on note $f^{~n}$ l'application itérée $f\circ f\circ ...\circ f$ ($n$ fois), avec $f^{0}=Id_{K}$.
Pour $n\in \mathbb{N}$, l'ensemble $f^{~n}(K)$ est un segment $[a_{n},b_{n}]$, avec $a_{n}\leq b_{n}$, éventuellement réduit à un singleton (et alors $a_{n}=b_{n}$). La suite des segments $f^{~n}(K)=[a_{n},b_{n}]$ est décroissante au sens de l'inclusion, et l'intersection de cette suite est un segment $\displaystyle J=\underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap }f^{~n}(K)=[a_{\infty },b_{\infty }]$ éventuellement réduit à un singleton.
Il me semble que $f(J)=J$ mais s'il n'est pas difficile de voir que $f(J)\subset J$ , je n'arrive pas à démontrer l'autre inclusion.
D'avance merci, et bonne journée de fête nationale.
Fr. Ch.
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Réponses
En tout cas merci pour avoir cherché, mais tu vois comme c'est agaçant.
On a donc $[a_{n+1},b_{n+1}]=f([a_n,b_n])$. Alors $a_{\infty}$ est la limite de la suite croissante $(a_n)$ et $b_\infty$ est la limite de la suite décroissante $(b_n)$. Soit $x\in J$. On a $a_{n+1}\leq a_\infty\leq x \leq b_\infty\leq b_{n+1}$ pour tout $n$, donc $x \in f([a_n,b_n])$ pour tout $n$.
Si on prend $f=Id$ on a $f(J)=J$ pour tout $J$.
Pour l'instant je n'ai pas d'exemple avec une $f$ discontinue, mais je pense que ça existe, j'y réfléchirai encore.
On part de $f:\N\to\N$, $k\mapsto k+1$. On va faire en sorte que $0$ ait des antécédents par $f^p$ pour tout $p$ mais qu'aucun de ces antécédents n'aient une infinité d'antécédents. De la sorte, $0$ sera bien dans $J$ mais pas dans $f(J)$. On ajoute des points :
- on ajoute un point $(1,-1)$ et on pose $f(1,-1)=0$ ;
- on ajoute deux points $(2,-2)$ et $(2,-1)$ et on pose $f(2,-2)=(2,-1)$ et $f(2,-1)=0$ ;
- on ajoute trois points $(3,-3)$, $(3,-2)$, $(3,-1)$ et on pose $f(3,-3)=(3,-2)$, $f(3,-2)=(3,-1)$, $f(3,-1)=0$ ;
- etc.
Représentons la situation par un graphe orienté : un sommet par point de $K$, une arête de $x$ vers $f(x)$. Un sommet $x$ est dans $J$ si pour tout $p$, il existe un chemin de longueur $p$ aboutissant à $x$, et $f(J)$ est l'ensemble des extrémités d'une arête issue de $J$.Les points bleus ne sont pas dans $J$ parce qu'ils n'ont qu'un nombre fini d'antécédents. Les points de $J$ sont en rouge et en orange, ceux de $f(J)$ en orange. Le point $0$ n'est pas dans $f(J)$.
Malheureusement, au jour d'aujourd'hui on ne peut donc poser ça en Math Spé PC ni PSI, puisque les propriétés des compacts, et le mot même de compact, ne figurent pas au programme de ces filières. Il reste MP - pour l'instant.
Bonne journée.
Fr. Ch.