Itération d'une application

J'errais.

Serait-ce une propriété spécifique des intervalles / parties connexes / parties convexes ?

La question est un peu vague mais portait plutôt sur $\R$. Tu as utilisé le fait que $J$ est un intervalle, une propriété de connexité liée au théorème des valeurs intermédiaires. Est-ce « pour de bonnes raisons » ou juste par commodité ? Peut-on imaginer une fonction $f$ (non continue donc), disons de $[0,1]$ dans lui-même, dont l'ensemble $J$ associé n'est pas égal à son image ? Ou bien $f$ continue sur $[0,1]^2$ telle que... ?

Ah oui, je crois que je sais comment faire. Il suffit de trouver un $K$ dénombrable, ensuite on le plonge dans $[0,1]$ et on prolonge par l'identité en dehors de $K$.

On part de $f:\N\to\N$, $k\mapsto k+1$. On va faire en sorte que $0$ ait des antécédents par $f^p$ pour tout $p$ mais qu'aucun de ces antécédents n'aient une infinité d'antécédents. De la sorte, $0$ sera bien dans $J$ mais pas dans $f(J)$. On ajoute des points :

• on ajoute un point $(1,-1)$ et on pose $f(1,-1)=0$ ;
• on ajoute deux points $(2,-2)$ et $(2,-1)$ et on pose $f(2,-2)=(2,-1)$ et $f(2,-1)=0$ ;
• on ajoute trois points $(3,-3)$, $(3,-2)$, $(3,-1)$ et on pose $f(3,-3)=(3,-2)$, $f(3,-2)=(3,-1)$, $f(3,-1)=0$ ;
• etc.

Représentons la situation par un graphe orienté : un sommet par point de $K$, une arête de $x$ vers $f(x)$. Un sommet $x$ est dans $J$ si pour tout $p$, il existe un chemin de longueur $p$ aboutissant à $x$, et $f(J)$ est l'ensemble des extrémités d'une arête issue de $J$.

Les points bleus ne sont pas dans $J$ parce qu'ils n'ont qu'un nombre fini d'antécédents. Les points de $J$ sont en rouge et en orange, ceux de $f(J)$ en orange. Le point $0$ n'est pas dans $f(J)$.

Soit $K_n=f^n(K)$. Soit $x\in \bigcap_n K_n$. Pour tout $n$, on a $x\in K_{n+1}=f(K_n)$ donc $f^{-1}(x)\cap K_n\ne \emptyset$. Comme une intersection décroissante de compacts non vides est non vide, on a $f^{-1}(x)\cap \bigcap_n K_n\ne \emptyset$, donc il existe $z\in \bigcap_n K_n$ tel que $f(z)=x$.