Somme de périodiques non périodique

Gauss_wh · July 2018

Bonjour,

Avez-vous un exemple simple de deux fonctions périodiques dont la somme ne l'est pas ? C'est pour justifier que l'ensemble des fonctions périodiques n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^{\mathbb R}$.

Chaurien · July 2018

$\sin x + \sin (x\sqrt 2)$

skilveg · July 2018

Essaie de prendre deux fonctions de périodes non commensurables (ie non multiples l'une de l'autre avec un facteur rationnel).

callipiger · July 2018

Bonjour
on peut prendre sin(x) et sin(2^0.5*x) la première est deux-pi périodique la deuxieme est raine de deux-pi périodique je pense. Et la somme n'est pas périodique je pense mais je ne sais pas le prouver.

skilveg · July 2018

Indication : si $f$ et $g$ sont respectivement $T_1$- et $T_2$-périodiques et si $f+g$ est $T$-périodique, alors $x\mapsto f(x)-f(x+T)$ est à la fois $T_1$- et $T_2$-périodique. On peut alors invoquer un argument bien connu sur la structure des sous-groupes de $\mathbb{R}$.

Gauss_wh · July 2018

Notons $f:x\mapsto \sin x + \sin (x\sqrt 2)$. Comment justifier que $f$ n'est pas périodique ? Par l'absurde, je ne vois pas comment avancer : s'il existe $T\in\mathbb R_{+}^{*}$ tel que pour tout $x\in\mathbb R, f(x+T)=f(x)$... J'imagine qu'on contredit à la fin l'irrationalité de $\sqrt 2$. J'ai également pensé écrire $f(x)=2\sin(\frac{1}{2}x(1+\sqrt 2))\cos(\frac{1}{2}x(1-\sqrt 2))$

moduloP · July 2018

Salut,

Si je ne dit pas de conneries. On peut par exemple prendre la fonction caractéristique de $\Z$ et la fonction caractéristique de
$\Z \times \sqrt{2} := \{ a \sqrt{2} \mid a \in \Z\}$. La première est $1$ périodique et la seconde est $\sqrt{2}$-périodique.

On pose : $f(x) = 1_\Z (x) + 1_{\Z \times \sqrt{2}}(x)$. S'il existe $T$ tel que pour tout $x$
$f(x+T) = f(x)$ alors c'est vrai pour $x= 0$. Comme on a : $f(0) = 2$.
Si $T$ existe alors $f(T) = 2$ et $T \in \Z \cap( \Z \times \sqrt{2})$ par suite $T = 0$ sinon $\sqrt{2} \in \Q$.

skilveg · July 2018

@Gauss : réécris $f(x+T) =f(x)$ en mettant les $\sqrt{2}$ à droite et le reste à gauche. Chaque membre est à la fois $2\pi$-périodique et $2\pi/\sqrt{2}$-périodique (pourquoi ?). Ensuite, que peux-tu dire d'une fonction qui a ces deux nombres pour période ?

Chaurien · July 2018

C'est toujours tristounet de démontrer un résultat, disons négatif, comme « n'est pas périodique ». On peut ici prouver que l'ensemble-image de la fonction $x \mapsto \sin x + \sin (x\sqrt 2)$ est $]- 2,2[$. Ceci nous renseigne un peu plus sur cette fonction et implique qu'elle n'est pas périodique.
J'avais posé ça au Rallye mathématique de Seine-Saint-Denis, en 1979. Comme le temps passe.

C'est une fonction presque-périodique :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_presque_périodique
http://plouffe.fr/simon/math/Besicovitch A.S. Almost Periodic Functions (Dover, 1954)(192s).pdf

Bonne journée.
Fr. Ch.

Lupulus · July 2018

L'identité est somme de deux fonctions périodiques et c'est facile de voir qu'elle n'est pas périodique

Chaurien · July 2018

L'identité n'est pas périodique ?

gebrane · July 2018

Non elle ne l 'est pas (si on a la même definition )
Id(x+T)=Id(x) ie x+T=x ie T=0 ou $T=\infty$

Lupulus · July 2018

Chaurien écrivait:

> L'identité n'est pas périodique ?

Une fonction injective ne peut pas être périodique.

Gauss_wh · July 2018

Bon, j'y suis parvenu avec la caractérisation des sous-groupes additifs de $\mathbb R$.

Pourquoi l'identité est la somme de deux fonctions périodiques ?

skilveg · July 2018

@Lupulus : tout dépend du monoïde de départ...

Lupulus · July 2018

En prenant une base de $\Bbb R$ en tant que $\Bbb Q$-espace vectoriel, on écrit $\Bbb R = V \oplus W$ avec $V \neq \{0\}$ et $W \neq \{0\}$. Soient $p_V, p_W$ les projections. Alors, par définition $id = p_V + p_W$.

Par symétrie il suffit de montrer que $p_V$ est périodique. On vérifie immédiatement que si $w \in W$, alors $w$ est une période pour $p_V$.

Lupulus · July 2018

@skilveg : Je ne crois pas. Si $M$ n'est pas réduit à $0$, alors $f$ ne peut pas être injective. Si $M = 0$ alors par définition aucune fonction n'est périodique car on demande à la période d'être non nulle.

Gauss_wh · July 2018

@Lupulus : super joli ce truc, je retiendrai :-)

skilveg · July 2018

@Lupulus : je joue un peu sur les définitions... mais que penses-tu de l'identité de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ? (Belle preuve, au passage !)

Lupulus · July 2018

@silveg : Je ne comprends pas quelle est la période de $f$ ? (Merci ! Je l'avais vu ici il y a des années je crois).

gebrane · July 2018

Dans l'exemple de Chaurien. Je pense que la méthode la plus simple pour démontrer que $$x \mapsto \sin x + \sin (ax)\quad\text{avec a un irrationnel}$$ n'est pas T-périodique est de dériver deux fois pour aboutir à la contradiction $\sin(T)=\sin(aT)=0$

Chaurien · July 2018

Oups, je confondais avec une constante...

vincent83 · July 2018

Il semble tout de même plus simple de travailler avec $x\mapsto \cos x+\cos (\sqrt{2}x)$ qui ne prend la valeur $2$ qu'en...$0$

Math Coss · July 2018

C'est un peu suspect ! OK pour la valeur 2, j'avais lu trop vite. 77990

gebrane · July 2018

@vincent83
C'est plus simple avec le cosinus. Et si on considère $x\mapsto \tan(x)+\tan(\sqrt2 x)$ ?

Chaurien · July 2018

Voici le corrigé que j'avais rédigé en 1979 pour le Rallye mathématique de Seine-Saint-Denis.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

skilveg · July 2018

(@Lupulus : je raconte n'importe quoi, désolé pour le bruit... Beaucoup de problèmes d'identité dans ce fil !)

gebrane · July 2018

Un fil amusant sur la somme de deux fonctions périodiques égale à l'identité https://www.maths-forum.com/enigmes/deux-fonctions-periodiques-t71110.html