Avez-vous un exemple simple de deux fonctions périodiques dont la somme ne l'est pas ? C'est pour justifier que l'ensemble des fonctions périodiques n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^{\mathbb R}$.
Bonjour
on peut prendre sin(x) et sin(2^0.5*x) la première est deux-pi périodique la deuxieme est raine de deux-pi périodique je pense. Et la somme n'est pas périodique je pense mais je ne sais pas le prouver.
Indication : si $f$ et $g$ sont respectivement $T_1$- et $T_2$-périodiques et si $f+g$ est $T$-périodique, alors $x\mapsto f(x)-f(x+T)$ est à la fois $T_1$- et $T_2$-périodique. On peut alors invoquer un argument bien connu sur la structure des sous-groupes de $\mathbb{R}$.
Notons $f:x\mapsto \sin x + \sin (x\sqrt 2)$. Comment justifier que $f$ n'est pas périodique ? Par l'absurde, je ne vois pas comment avancer : s'il existe $T\in\mathbb R_{+}^{*}$ tel que pour tout $x\in\mathbb R, f(x+T)=f(x)$... J'imagine qu'on contredit à la fin l'irrationalité de $\sqrt 2$. J'ai également pensé écrire $f(x)=2\sin(\frac{1}{2}x(1+\sqrt 2))\cos(\frac{1}{2}x(1-\sqrt 2))$
Si je ne dit pas de conneries. On peut par exemple prendre la fonction caractéristique de $\Z$ et la fonction caractéristique de
$\Z \times \sqrt{2} := \{ a \sqrt{2} \mid a \in \Z\}$. La première est $1$ périodique et la seconde est $\sqrt{2}$-périodique.
On pose : $f(x) = 1_\Z (x) + 1_{\Z \times \sqrt{2}}(x)$. S'il existe $T$ tel que pour tout $x$
$f(x+T) = f(x)$ alors c'est vrai pour $x= 0$. Comme on a : $f(0) = 2$.
Si $T$ existe alors $f(T) = 2$ et $T \in \Z \cap( \Z \times \sqrt{2})$ par suite $T = 0$ sinon $\sqrt{2} \in \Q$.
@Gauss : réécris $f(x+T) =f(x)$ en mettant les $\sqrt{2}$ à droite et le reste à gauche. Chaque membre est à la fois $2\pi$-périodique et $2\pi/\sqrt{2}$-périodique (pourquoi ?). Ensuite, que peux-tu dire d'une fonction qui a ces deux nombres pour période ?
C'est toujours tristounet de démontrer un résultat, disons négatif, comme « n'est pas périodique ». On peut ici prouver que l'ensemble-image de la fonction $x \mapsto \sin x + \sin (x\sqrt 2)$ est $]- 2,2[$. Ceci nous renseigne un peu plus sur cette fonction et implique qu'elle n'est pas périodique.
J'avais posé ça au Rallye mathématique de Seine-Saint-Denis, en 1979. Comme le temps passe.
En prenant une base de $\Bbb R$ en tant que $\Bbb Q$-espace vectoriel, on écrit $\Bbb R = V \oplus W$ avec $V \neq \{0\}$ et $W \neq \{0\}$. Soient $p_V, p_W$ les projections. Alors, par définition $id = p_V + p_W$.
Par symétrie il suffit de montrer que $p_V$ est périodique. On vérifie immédiatement que si $w \in W$, alors $w$ est une période pour $p_V$.
@skilveg : Je ne crois pas. Si $M$ n'est pas réduit à $0$, alors $f$ ne peut pas être injective. Si $M = 0$ alors par définition aucune fonction n'est périodique car on demande à la période d'être non nulle.
Dans l'exemple de Chaurien. Je pense que la méthode la plus simple pour démontrer que $$x \mapsto \sin x + \sin (ax)\quad\text{avec a un irrationnel}$$ n'est pas T-périodique est de dériver deux fois pour aboutir à la contradiction $\sin(T)=\sin(aT)=0$
Réponses
on peut prendre sin(x) et sin(2^0.5*x) la première est deux-pi périodique la deuxieme est raine de deux-pi périodique je pense. Et la somme n'est pas périodique je pense mais je ne sais pas le prouver.
Si je ne dit pas de conneries. On peut par exemple prendre la fonction caractéristique de $\Z$ et la fonction caractéristique de
$\Z \times \sqrt{2} := \{ a \sqrt{2} \mid a \in \Z\}$. La première est $1$ périodique et la seconde est $\sqrt{2}$-périodique.
On pose : $f(x) = 1_\Z (x) + 1_{\Z \times \sqrt{2}}(x)$. S'il existe $T$ tel que pour tout $x$
$f(x+T) = f(x)$ alors c'est vrai pour $x= 0$. Comme on a : $f(0) = 2$.
Si $T$ existe alors $f(T) = 2$ et $T \in \Z \cap( \Z \times \sqrt{2})$ par suite $T = 0$ sinon $\sqrt{2} \in \Q$.
J'avais posé ça au Rallye mathématique de Seine-Saint-Denis, en 1979. Comme le temps passe.
C'est une fonction presque-périodique :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_presque_périodique
http://plouffe.fr/simon/math/Besicovitch A.S. Almost Periodic Functions (Dover, 1954)(192s).pdf
Bonne journée.
Fr. Ch.
Id(x+T)=Id(x) ie x+T=x ie T=0 ou $T=\infty$
> L'identité n'est pas périodique ?
Une fonction injective ne peut pas être périodique.
Pourquoi l'identité est la somme de deux fonctions périodiques ?
Par symétrie il suffit de montrer que $p_V$ est périodique. On vérifie immédiatement que si $w \in W$, alors $w$ est une période pour $p_V$.
C'est plus simple avec le cosinus. Et si on considère $x\mapsto \tan(x)+\tan(\sqrt2 x)$ ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
> C'est une fonction presque-périodique :
Elle est même quasi-périodique, le module des fréquences étant libre de type fini.