L'équation $x^y=y^x$

Bonjour à toutes et à tous
Je regardais une vidéo de blackpenredpen sur le sujet et avant de dire ouf, j'avais déjà mon stylo en main. Je me demandais : lorsque l'on dérive cette équation par rapport à $x$, on obtient : $$ yx^{y-1}=\ln(y)y^x =\ln(y)x^y $$ avec bien sûr $x,y > 0$. Ce qui donnerait, si $y \neq 1$ : $$ x\ln(y)=y
$$ Or on tire de notre première équation : $y\ln(x)=x\ln(y)$... ce qui donnerait $\ln(x)=1$ et donc $x=e$, ce qui est absurde vu le nombre infini de solutions ! Où est mon erreur ?