Normes non équivalentes

Mrocdemorgat · July 2018

Bonjour.
Est-il possible de trouver une suite à valeurs dans un espace vectoriel qui converge vers deux vecteurs distincts suivant deux normes différentes ?

Merci d'avance pour vos réponses.

GaBuZoMeu · July 2018

Oui.
Le théorème de Stone Weierstrass te dit qu'il existe une suite de polynômes réels $(P_n)$ dont les restrictions à $[0,1]\cup [2,3]$ convergent uniformément vers la fonction qui vaut $0$ sur $[0,1]$ et $1$ sur $[2,3]$.
Quelle est la limite de $(P_n)$ dans l'espace des polynômes muni de la norme $P\mapsto\max(\{P(x)\mid 0\leq x\leq 1\})$ (resp. $P\mapsto\max(\{P(x)\mid 2\leq x\leq 3\})$) ?

Mrocdemorgat · July 2018

Super! Merci beaucoup.

seb78 · July 2018

Ou bien $P_n(x)=x^n$ sur l'espace $C^0([0,1])$ muni respectivement de la norme de $\|.\|_{\infty}$ et de la norme $\|.\|_{L^1}$

gebrane · July 2018

J’ajoute que la limite d’une suite convergente suivant une norme est unique, et ne change pas si l’on change la norme par une norme équivalente c'est pourquoi les exemples donnés ci haut c'est dans des espaces de dimension infinie.

GaBuZoMeu · July 2018

@seb78 : quelle est la limite de la suite des $P_n(x)=x^n$ dans l'espace $C^0([0,1])$ pour la norme $\|.\|_{\infty}$ ???

seb78 · July 2018

@Ga
La suite ne converge vers aucune limite pour cette norme donc ça ne répond pas à la question. Désolé

gebrane · July 2018

@seb
On peut rectifier l'espace en $C^0[0,\frac 12]$ pour avoir la convergence uniforme. Mais il y a un autre bleme c'est dès qu'on a la convegence uniforme vers un f, on aura automatiquement la convergence vers f pour toutes les normes $||.||_p$ car on travaille sur un borné. Il vaut mieux chercher un exemple dans $C^0(\R)$

jandri · July 2018

Un autre exemple avec des polynômes.

Pour $P=\displaystyle\sum_{k\geq0}a_kX^k\in\R[X]$ on pose $N_1(P)=\displaystyle\max_{k\geq0}|a_k|$ et $N_2(P)=|P(1)|+\displaystyle\max_{k\geq1}|a_k|$.

On vérifie que $N_1$ et $N_2$ sont deux normes sur $\R[X]$. La suite $P_n=\dfrac{X+X^2+\cdots+X^n}n$ converge vers $0$ pour $N_1$ et vers $1$ pour $N_2$.

Champ-Pot-Lion · July 2018

Est-ce qu'on ne peut pas, à partir de n'importe quelle distance $d$ sur $\mathbb{N}$, produire une norme $\|\cdot\|$ sur $\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ telle que $n \in \mathbb{N} \mapsto e_n \in \mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ (vecteur de la base canonique) soit un plongement isométrique ? Si oui, on peut prendre deux distances sur $\mathbb{N}$ telles que $(n)_{n \geq 2}$ converge vers $0$ pour l'une et vers $1$ pour l'autre, et produire un exemple.

GaBuZoMeu · July 2018

Ça commence très mal, avec la "base canonique" de $\mathbb R^{\mathbb N}$. Ne pas confondre $\mathbb R^{\mathbb N}$ avec $\mathbb R^{(\mathbb N)}= \bigoplus\limits_{n\in \mathbb N} \mathbb R$.

Champ-Pot-Lion · July 2018

Ah oui. Pourtant j'avais bien noté $\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ sur mon bout de papier (et j'avais même pensé à la dernière fois sur ce forum où j'avais fait cette erreur et où c'était toi qui avait corrigé). Mais ça devait faire trop de parenthèses en latex. ^^ Merci. C'est bien de $\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ que je voulais parler, je rectifie.

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