Intégrale d'une gaussienne bi-dimensionelle

Bonjour à tous
Je me retrouve face à un problème d'intégrale qui me semblait à première vue réalisable mais je me rends compte que mes années prépa sont bien loin.
J'aimerais calculer le volume sous la cloche d'une courbe gaussienne en 2D. Je m'explique :
Je veux approcher des volumes avec une forme gaussienne afin d'avoir accès à des calculs d'erreurs. Pour ce faire, je veux jouer sur les intervalles de confiance qui me sont donnés par les propriétés de la fonction gaussienne (et plus particulièrement le $\sigma$ de la loi normale).

J'ai donc une liste de volume type ($V_{type}$) et j'aimerais déterminer la fonction gaussienne à deux variables qui me permettrait d'approcher ces volumes (j'optimiserais ma fonction afin de trouver le $\sigma$). Cependant j'ai du mal à déterminer ce volume de "gaussienne".
En terme mathématique, mon problème est le suivant.

On considère la fonction f(x,y) centré sur 0 tel que : \begin{equation}
f(x,y)= z_{eq}e^{\tfrac{-(x^2+y^2)}{\sigma^2}},
\end{equation} où $z_{eq}$ est la valeur de $f(0,0)$ inconnue. De plus, \begin{equation}
V_{gauss}=\int \limits_{-n\sigma}^{n\sigma} {\int \limits_{-n\sigma}^{n\sigma} {f(x,y)\ dx dy}}
\end{equation} En opérant un changement de variable en coordonnées polaires : \begin{equation}
V_{gauss}=z_{eq}\int \limits_{0}^{2\pi} {\int \limits_{0}^{n\sigma} {e^{\tfrac{-r^2}{\sigma^2}} r \ dr d\theta}}
\end{equation} L'intégrale donne \begin{equation}
V_{gauss}=2\pi z_{eq}\sigma^2(1-{e^{-n^2} })
\end{equation}

Ma première question est donc de savoir si le calcul de ce volume est juste ou du moins proche de la solution ?

Le nœud du problème reste ensuite dans l'exploitation de ce résultat. Il y a quatre inconnues $z_{eq}$, $V_{gauss}$, $n$ et $\sigma$.
En ce qui concerne $V_{gauss}$, l'équation \begin{equation} V_{gauss} = V_{type} \end{equation} permet d'enlever une inconnue.
Une deuxième équation basé sur l'hypothèse que la base de la gaussienne est un cercle (dont l'aire est connue) donne : \begin{equation}
Aire_{base} = \pi*n^2\sigma^2
\end{equation}
Je voulais donc savoir si il existe une fonction d'optimisation qui me permettrait de trouver un couple $n$ et $z_{eq}$ qui me permettrait de satisfaire à l'hypothèse: \begin{equation}
\frac{V_{gauss}}{V_{type}}=1
\end{equation} J'espère avoir été assez clair, n'hésitez pas à me demander des précisions.