Oscillateur presque harmonique
Bonjour à tous
Je me demande si l'un d'entre vous sait où ou comment trouver des choses intelligentes à dire sur l'EDO : $$ \ddot{x}+x=f(x),$$ d'inconnue $x : [0;2\pi] \rightarrow \mathbb{R}$, où $f(x)$ est une forme générique (par exemple puissance). À part les cas simples $f=id$ et $f=cst$, que peut-on tirer de la forme particulière de cette équation, au sens où il s'agit d'un perturbation de l'oscillateur harmonique ? Je suis en particulier intéressé par des solutions périodiques de cette équation.
Des idées et/ou références ?
Merci d'avance, et très bonne soirée.
- Hypaulite
Je me demande si l'un d'entre vous sait où ou comment trouver des choses intelligentes à dire sur l'EDO : $$ \ddot{x}+x=f(x),$$ d'inconnue $x : [0;2\pi] \rightarrow \mathbb{R}$, où $f(x)$ est une forme générique (par exemple puissance). À part les cas simples $f=id$ et $f=cst$, que peut-on tirer de la forme particulière de cette équation, au sens où il s'agit d'un perturbation de l'oscillateur harmonique ? Je suis en particulier intéressé par des solutions périodiques de cette équation.
Des idées et/ou références ?
Merci d'avance, et très bonne soirée.
- Hypaulite
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Réponses
La fonction $x\mapsto \int_{a}^{x} dz \sin(x-z) f(z),\ 0\leq a\leq 2\pi$ existe-t-elle ? Est-elle solution de l’équation différentielle $y''(x)+y(x)=f(x)$ avec $y(a)=0$ ?
Sinon pour l’équation différentielle $y''(t)+y(t)=f(y(t))$ il suffit de multiplier par $y’(t)$ et d’intégrer puis intégrer une seconde fois pour trouver $y(t)$.
Merci pour votre réponse. Mais mon EDO possède comme second membre quelquechose comme $f(x(t))$ et non pas $f(t)$ ... Par exemple, je considère l'EDO $\ddot{x}+x=x^n$ et non pas $\ddot{x}(t)+x(t)=t^n$.
Tu multiplies par $x’$ et tu intègres pour trouver $x’^2(t)$ puis tu prends la racine et tu intègres pour trouver $x(t)$...