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Définition de la continuité

Envoyé par jp59 
Définition de la continuité
il y a deux années
Bonjour
Pour définir la continuité, ou plus profondément les limites quand on manipule les fonctions à plusieurs variables, en tout cas dans certains programmes, on utilise la norme dans l'espace euclidien R^n muni de son produit scalaire canonique.
M
ais du coup je me pose la question suivante : une fonction continue selon la norme euclidienne l'est-elle pour une norme issue d'un produit scalaire plus "bizarre" ?
En gros ma question est : tout ce que l'on dit sur les fonctions dépend-il du produit scalaire qu'on utilise ?? Ce serait un peu restrictif de définir des concepts généraux comme la continuité juste avec une façon de mesurer... enfin ce n'est que mon opinion.
Doit-on dire "la fonction est continue selon la norme.." ?

Merci, j'espère que la question est claire.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: définition de continuité
il y a deux années
Toutes les normes sur un espace vectoriel réel de dimension finie sont équivalentes. Elles définissent donc la même topologie, et en particulier les mêmes fonctions continues.
Re: définition de continuité
il y a deux années
qu'entendez vous par équivalent ? merci
Dom
Re: définition de continuité
il y a deux années
On a un résultat : sur $\mathbb R^n$, toutes les normes sont équivalentes.
Plus généralement, en dimension fini (sur $\mathbb R$), toutes les normes sont équivalentes.
Que la norme soit euclidienne ou non (c'est à dire qu'elle soit issue d'un produit scalaire ou non).

Ainsi, ce n'est pas un "problème".

On a une définition de ce que signifie "normes équivalentes".
Mais le résultat qui t'intéresse est que si deux normes sont équivalentes, alors (si une fonction est continue pour une norme, alors elle est continue pour l'autre qui lui est équivalente).



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Dom.
Re: définition de continuité
il y a deux années
Ok je viens de lire sur Wikipédia ce que signifie équivalence de normes. La démonstration de l'équivalence en dimension finie semble être compliquée. D'autant + que je viens de découvrir que la notion de norme existe indépendamment du produit scalaire.

Mais c'est effectivement une explication (démonstration?) de cette proposition qui m'intéresse ! Avez vous une réf ?
Autre question : l'équivalence de norme est-elle transitive ?
Incroyable j'ai suivi des cours sur l'étude de R^n avec les ouverts, matrices hessiennes, les formes quadratiques alors que je ne savais même pas ça, c'est bizarre...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jp59.
Dom
Re: définition de continuité
il y a deux années
La relation "est une norme équivalente à" est une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes.
Donc réflexive, symétrique et transitive.
Cela doit se faire facilement avec la définition que tu as pu voir.

La démonstration (on travaille sur $\mathbb R^n$) de "si deux normes sont équivalentes alors la continuité pour l'une entraîne la continuité pour l'autre" est simple à faire : il suffit d'écrire les choses.

La démonstration de la propriété : sur $\mathbb R^n$, toutes les normes sont équivalentes est assez technique selon le niveau. Celle que je connais passe d'abord par la norme infinie. On doit trouver cela partout sur Google.
Re: définition de continuité
il y a deux années
Ok merci je vais essayer de comprendre bien tout ça, clairement.

Dernière question, je viens d'apprendre en trainant sur Google, que la notion avec les 2 barres et le 2 en indice pr la norme euclidienne s'explique par le fait qu'il existe une norme indice p d'où la notation avec le petit 2 en indice.
Mais pq la norme avec le max s'appelle norme infinie ??
Merci
Dom
Re: définition de continuité
il y a deux années
Un lien rapide : il suffit d'oublier $E$ et de le remplacer par $\mathbb R^n$ dans la preuve pour passer des détails.


Pour la question : On peut démontrer que $(||.||_p)$ tend vers $||.||_{\infty}$ quand $p$ tend vers $\infty$.
Remarque : selon les espaces (fini, "discret infini" pour des suites particulières, "continu infini" pour des fonctions particulières) on a la norme $p$, qui se note $||.||_p$.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Dom.
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
que signifie, plus précisément que la norme p tend vers la norme infinie ? Que pour tout n-uplet x=(x1,..xn) norme p de x tend vers norme infinie de x quand p tend vers + l'infini ?
Auriez vous un cours qui explique toutes ces notions ? Wikipédia est bien mais un cours concis peut-être intéressant.
Merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jp59.
Dom
Re: définition de continuité
il y a deux années
Oui c'est cela. On parle de convergence simple de la suite des fonctions $(||.||_p)$ vers $(||.||_{\infty})$.

"Ces notions" : j'irais voir un cours sur les suites de fonctions (convergence simple, convergence uniforme sont des mots clés qui y renvoient dans les cours de L1-L2).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Dom.
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
qu'est ce que la norme p pour les espaces autres que R^n ?
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
On pourrait dire que cela généralise les normes "p" usuelles aux espaces de dimensions infinies.

Dans ce lien, le paragraphe "motivation" est l'objet de la généralisation dont je parle. Il s'agit des espaces de suites usuels.

Puis ici, on a le cas des espaces de fonctions usuels.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Dom.
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Okok, je comprends pourquoi est écrit dans mon cours "on choisira la norme qui semble la + appropriée pr montrer qu'une fonction est continue".
Comment savoir quelle norme est la + pertinente dans un contexte très précis ?
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Oui, c'est une phrase qu'on lit ou qu'on entend quand on poursuit après le BAC winking smiley.

Comment savoir laquelle choisir ? Je n'en sais rien.
On essaye...peut-être parmi la "1", la "2" puis la "$\infty$"...?

Je n'ai pas d'exemple en tête où le choix d'un $p$ (distinct des trois précédents) est incontournable.

Par contre, j'ai posté un exemple du Rouvière où la norme "2" suffit à prouver un caractère contractant.
J'avais un autre exemple, qui utilise les normes d'algèbre (exercices avec des matrices) où un choix devenait "plus pertinent" qu'un autre...Peut-être sur la méthode de Jacobi pour démontrer qu'une matrice à diagonale strictement dominante est inversible...(là encore c'est une histoire de point fixe lié à une fonction contractante).

A demain winking smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Dom.
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Merci beaucoup Dom,

A demain
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
@Dom Où sont les exemples dont tu parles ?
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Je vais tâcher de retrouver cela...patience winking smiley
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Merci, je patiente. :)
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Un truc bête, par exemple pour montrer la continuité en $(0,0)$ de la fonction qui vaut $0$ en $(0,0)$ et $\frac{x^2+y^3}{|x|+|y|}$ j'aurais tendance à prendre la norme $1$ (ou éventuellement la norme infinie) car le traitement du dénominateur se fait mieux avec l'une de ses normes qu'avec la norme $2$ (où on utiliserait plus ou moins l'équivalence des normes) et pour le numérateur s'est vraiment du pareil au même.

@GaBuzoMeu Attention à l'énoncé de l'équivalence des normes en dimension finie. Penser à $\Q[\sqrt{2}]$ (qui est bien un $\Q-$e.v. de dimension $2$) avec les deux normes visiblement non équivalentes $q_1+q_2 \sqrt{2} \mapsto |q_1+q_2 \sqrt{2}| $ et $q_1+q_2 \sqrt{2}\mapsto |q_1|+|q_2| \sqrt{2}$. On a besoin de la complétude du corps de base.
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Sinon sauf erreur de calcul on considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$. Sa norme matricielle est 4 ou 5 selon que l'on prend celle associée à la norme $1$ ou $\infty$ (je ne sais plus dans quel sens, mais ça se retrouve facilement). On prend donc un réel $\alpha \in ]4,5[$ et l'on considère l'application linéaire $f(x)=\frac1{\alpha} Ax$. Elle sera contractante avec la première norme, et non avec l'autre en prenant une direction pour $y-x$ réalisant la constante $5/\alpha$.
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Citation
math2
@GaBuzoMeu Attention à l'énoncé de l'équivalence des normes en dimension finie.
En quoi n'ai-je pas fait attention ?
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
oups désolé j'avais mal lu. Shame on me grinning smiley
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Voilà deux exercices.
L’idée est de choisir une norme permettant de justifier une contraction (théorème du point fixe de Picard).
Indication : il suffit de jongler avec les normes $1$, $2$ ou $\infty$.
Pour l’exercice 2, que je n'arrive pas vraiment à défendre, une preuve plus simple existe (Wiki).
Je ne sais pas à quel point une valeur approchée de l'inverse est utile dans certains domaines...


Remarque : pour les normes matricielles (plutôt subordonnées) on peut aussi s'intéresser (façon jeu de plage) à prendre la norme $p$ sur l'espace de départ et la norme $q$ sur l'espace d'arrivée pour voir ce que cela donne...


Exercice 1 – système non linéaire

Démontrer que le système suivant admet une unique solution dans $\mathbb R^2$ :

$\left\{
\begin{array}{l}
x=\dfrac{1}{2}\sin (x+y)\\
y=\dfrac{1}{2}\cos (x-y)
\end{array}
\right.$


Exercice 2 – caractère inversible d’une matrice à diagonale strictement dominante

Démontrer le théorème suivant : Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$.
Si $A$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors $A$ est inversible.

Méthode de Jacobi :
On note $A = D + N$ où $D$ est la matrice obtenue avec la diagonale de $A$ et des $0$ ailleurs, puis $N=A–D$.
Remarque : la notation « $N$ » ne doit pas induire en erreur, ce n’est pas forcément nilpotent.

La matrice $D$ est inversible. Soit $Y$ un vecteur.
Si $X$ est solution de $AX=Y$, alors $X$ est solution de $X=-D^{-1}NX+D^{-1}Y$.
Cette dernière expression permet de tenter une itération : $X_{n+1}=-D^{-1}NX_{n}+D^{-1}Y$.
La fonction $F$ étant de $\mathbb R^n$ dans lui-même.
$F : X \mapsto -D^{-1}NX+D^{-1}Y$

Il suffit de démontrer que cette fonction (affine) est contractante en choisissant une norme adaptée.

Cela revient à étudier "une bonne norme" matricielle de $D^{-1}N$.
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Merci Dom, je regarderai ça.

@math2 On peut aussi plus visuellement prendre une rotation dans $\mathbb{R}^2$. Sa norme d'opérateur pour la norme euclidienne est 1. Pour n'importe quelle autre norme sur $\mathbb{R}^2$, la norme d'opérateur associée de cette rotation est supérieure ou égale à 1 (je crois que c'est vrai pour n'importe quelle autre norme), et en général strictement supérieur (sauf symétrie particulière de la boule unité de la norme considérée).
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
winking smiley

Au sujet de "je crois que c'est vrai pour n'importe quelle autre norme" :
En effet, je pense au rayon spectral qui minimise les normes matricielles (pas n'importe quelle norme a priori).

Par contre, je me demande si pour d'autres produits scalaires (donc d'autres normes euclidiennes) on a des "relations d'ordre".
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
avatar
Pour l'exercice 1 de Dom je coupe mes doigts si AD n'a pas donné une belle preuve élémentaire ( sans utiliser la méthode du point fixe) mais j'ai perdu le lien!

Signature: Détends-toi, relis, respire, et dis-toi que changer de méthodologie n'est pas renoncer à soi. (christophe c )
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Ha flûte.
Cela dit, si tu ne t'en souviens pas, comment ferais-tu ? grinning smiley
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Ouais, la norme spectrale d'une rotation est $1$ et donc ça montre ce que j'avais dit. Je parlais de "pour n'importe quelle autre norme" sur $\mathbb{R}^2$, pas sur les matrices. Qu'entends-tu par ces "relations d'ordre" sur les normes euclidiennes ?

Pour l'exercice 2, une autre manière de le voir est d'utiliser des trucs valable dans toute algèbre de Banach pour inverser $D+N$. On multiplie par $D^{-1}$ (ça préserve l'inversibilité). On trouve $1+D^{-1} N$. Ensuite, on voit que si la norme de $D^{-1} N$ est strictement inférieure à 1, alors $\sum_{k=0}^{\infty} (-D^{-1}N)^k$ converge, et que c'est l'inverse de $1+D^{-1} N$. Comme norme, on prend la norme d'opérateur associée à la norme $1$, ou bien à la norme infini selon le sens dont on a pris les choses.
Pour voir ça avec des histoires de point fixe, on peut dire que l'inverse de $1-a$ est le point fixe de $x \mapsto 1+ax$ (c'est en quelque sorte ce qu'on fait point par point dans ta preuve).
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Ok.
Oui c'est quasiment à cela que la recherche revient pour l'exercice 2.

Mon histoire "d'ordre" était une réflexion un peu naïve et trop rapide d'ailleurs.
1) Le rayon spectral $\rho$ minimise toutes les normes subordonnées ($|||.|||$).
2) La norme subordonnée à la norme 2 (euclidienne), $|||.|||_2$ s'exprime à l'aide du rayon spectral.
J'ai voulu lier ces deux choses mais en escamotant les résultats.
Notamment, "rayon spectral de" n'est pas une norme et surtout $\rho$ n'est pas du tout la même chose que $|||.|||_2$.
En gros, je m'étais dit : si je prends un autre produit scalaire que l'usuel, est-ce que j'obtiens une norme subordonnée "meilleure" (en majoration) que $|||.|||_2$ ?
Bon, mon esprit vagabonda n'importe où...cela m'arrive.




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Dom.
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
avatar
@Dom
Suite à [www.les-mathematiques.net], je ne sais pas
Veux-tu m'aider. Merci d'avance ( Si nécessaire, on ouvre un nouveau fil)

Signature: Détends-toi, relis, respire, et dis-toi que changer de méthodologie n'est pas renoncer à soi. (christophe c )
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Heu t'aider à trouver la méthode rapide dont tu parles ou t'aider à résoudre l'exercice 1 ?
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
avatar
A résoudre l'exercice si tu veux mais sans point fixe.

Signature: Détends-toi, relis, respire, et dis-toi que changer de méthodologie n'est pas renoncer à soi. (christophe c )
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Ha ! Ok.
Par contre, la démo que je connais du théorème du point fixe s'appuie sur la convergence d'une suite géométrique.
On doit alors s'interdire « les principes de cette démonstration » et aussi l'utilisation des contractions ?

Hum...une idée ?

Tenter l'existence d'abord ? L'unicité d'abord ?
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
avatar
Cette question (j'en suis sûr) m'a été posé par un Lycéen , donc on se conforme aux outils d'avant Bac ( je cherche toujours le lien au forum d'analyse)

Signature: Détends-toi, relis, respire, et dis-toi que changer de méthodologie n'est pas renoncer à soi. (christophe c )
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Ha !
Voilà donc une contrainte ferme : dérivation de fonction à une variable, toute suite croissante majorée converge....
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
avatar
Citation
gebrane écrivait
Cette question (j'en suis sûr) m'a été posé par un Lycéen

Faux, Je voulais la proposer comme un devoir. J'ai retrouvé le lien mais c'est au forum d'algebre et tu y étais aussi présent [www.les-mathematiques.net]

Signature: Détends-toi, relis, respire, et dis-toi que changer de méthodologie n'est pas renoncer à soi. (christophe c )
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Dom écrivait :
> Notamment, "rayon spectral de" n'est pas une norme

Oups, j'ai écrit "norme spectrale" ! Je vois que la "norme spectrale" existe aussi (en tout cas en anglais) et est la norme d'opérateur associée à la norme euclidienne.
Dom
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
Ha. Je ne connaissais pas cette appellation.

Bon, ne sachant pas lire l'anglais, je ne tomberai jamais dessus winking smiley
geo
Re: Définition de la continuité
il y a deux années
@Dom
Il me semble que le rayon spectral d'une matrice est exactement la norme subordonnée de la matrice quand la norme de l'espace ambiant est un produit scalaire et ce quelque soit le produit scalaire.
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