Définition de la continuité
Bonjour
Pour définir la continuité, ou plus profondément les limites quand on manipule les fonctions à plusieurs variables, en tout cas dans certains programmes, on utilise la norme dans l'espace euclidien R^n muni de son produit scalaire canonique.
Mais du coup je me pose la question suivante : une fonction continue selon la norme euclidienne l'est-elle pour une norme issue d'un produit scalaire plus "bizarre" ?
En gros ma question est : tout ce que l'on dit sur les fonctions dépend-il du produit scalaire qu'on utilise ?? Ce serait un peu restrictif de définir des concepts généraux comme la continuité juste avec une façon de mesurer... enfin ce n'est que mon opinion.
Doit-on dire "la fonction est continue selon la norme.." ?
Merci, j'espère que la question est claire.
Pour définir la continuité, ou plus profondément les limites quand on manipule les fonctions à plusieurs variables, en tout cas dans certains programmes, on utilise la norme dans l'espace euclidien R^n muni de son produit scalaire canonique.
Mais du coup je me pose la question suivante : une fonction continue selon la norme euclidienne l'est-elle pour une norme issue d'un produit scalaire plus "bizarre" ?
En gros ma question est : tout ce que l'on dit sur les fonctions dépend-il du produit scalaire qu'on utilise ?? Ce serait un peu restrictif de définir des concepts généraux comme la continuité juste avec une façon de mesurer... enfin ce n'est que mon opinion.
Doit-on dire "la fonction est continue selon la norme.." ?
Merci, j'espère que la question est claire.
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Réponses
Plus généralement, en dimension fini (sur $\mathbb R$), toutes les normes sont équivalentes.
Que la norme soit euclidienne ou non (c'est à dire qu'elle soit issue d'un produit scalaire ou non).
Ainsi, ce n'est pas un "problème".
On a une définition de ce que signifie "normes équivalentes".
Mais le résultat qui t'intéresse est que si deux normes sont équivalentes, alors (si une fonction est continue pour une norme, alors elle est continue pour l'autre qui lui est équivalente).
Mais c'est effectivement une explication (démonstration?) de cette proposition qui m'intéresse ! Avez vous une réf ?
Autre question : l'équivalence de norme est-elle transitive ?
Incroyable j'ai suivi des cours sur l'étude de R^n avec les ouverts, matrices hessiennes, les formes quadratiques alors que je ne savais même pas ça, c'est bizarre...
Donc réflexive, symétrique et transitive.
Cela doit se faire facilement avec la définition que tu as pu voir.
La démonstration (on travaille sur $\mathbb R^n$) de "si deux normes sont équivalentes alors la continuité pour l'une entraîne la continuité pour l'autre" est simple à faire : il suffit d'écrire les choses.
La démonstration de la propriété : sur $\mathbb R^n$, toutes les normes sont équivalentes est assez technique selon le niveau. Celle que je connais passe d'abord par la norme infinie. On doit trouver cela partout sur Google.
Dernière question, je viens d'apprendre en trainant sur Google, que la notion avec les 2 barres et le 2 en indice pr la norme euclidienne s'explique par le fait qu'il existe une norme indice p d'où la notation avec le petit 2 en indice.
Mais pq la norme avec le max s'appelle norme infinie ??
Merci
Pour la question : On peut démontrer que $(||.||_p)$ tend vers $||.||_{\infty}$ quand $p$ tend vers $\infty$.
Remarque : selon les espaces (fini, "discret infini" pour des suites particulières, "continu infini" pour des fonctions particulières) on a la norme $p$, qui se note $||.||_p$.
Auriez vous un cours qui explique toutes ces notions ? Wikipédia est bien mais un cours concis peut-être intéressant.
Merci
"Ces notions" : j'irais voir un cours sur les suites de fonctions (convergence simple, convergence uniforme sont des mots clés qui y renvoient dans les cours de L1-L2).
Dans ce lien, le paragraphe "motivation" est l'objet de la généralisation dont je parle. Il s'agit des espaces de suites usuels.
Puis ici, on a le cas des espaces de fonctions usuels.
Comment savoir quelle norme est la + pertinente dans un contexte très précis ?
Comment savoir laquelle choisir ? Je n'en sais rien.
On essaye...peut-être parmi la "1", la "2" puis la "$\infty$"...?
Je n'ai pas d'exemple en tête où le choix d'un $p$ (distinct des trois précédents) est incontournable.
Par contre, j'ai posté un exemple du Rouvière où la norme "2" suffit à prouver un caractère contractant.
J'avais un autre exemple, qui utilise les normes d'algèbre (exercices avec des matrices) où un choix devenait "plus pertinent" qu'un autre...Peut-être sur la méthode de Jacobi pour démontrer qu'une matrice à diagonale strictement dominante est inversible...(là encore c'est une histoire de point fixe lié à une fonction contractante).
A demain ;-)
A demain
@GaBuzoMeu Attention à l'énoncé de l'équivalence des normes en dimension finie. Penser à $\Q[\sqrt{2}]$ (qui est bien un $\Q-$e.v. de dimension $2$) avec les deux normes visiblement non équivalentes $q_1+q_2 \sqrt{2} \mapsto |q_1+q_2 \sqrt{2}| $ et $q_1+q_2 \sqrt{2}\mapsto |q_1|+|q_2| \sqrt{2}$. On a besoin de la complétude du corps de base.
L’idée est de choisir une norme permettant de justifier une contraction (théorème du point fixe de Picard).
Indication : il suffit de jongler avec les normes $1$, $2$ ou $\infty$.
[small]Pour l’exercice 2, que je n'arrive pas vraiment à défendre, une preuve plus simple existe (Wiki).
Je ne sais pas à quel point une valeur approchée de l'inverse est utile dans certains domaines...[/small]
Remarque : pour les normes matricielles (plutôt subordonnées) on peut aussi s'intéresser (façon jeu de plage) à prendre la norme $p$ sur l'espace de départ et la norme $q$ sur l'espace d'arrivée pour voir ce que cela donne...
Exercice 1 – système non linéaire
Démontrer que le système suivant admet une unique solution dans $\mathbb R^2$ :
$\left\{
\begin{array}{l}
x=\dfrac{1}{2}\sin (x+y)\\
y=\dfrac{1}{2}\cos (x-y)
\end{array}
\right.$
Exercice 2 – caractère inversible d’une matrice à diagonale strictement dominante
Démontrer le théorème suivant : Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$.
Si $A$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors $A$ est inversible.
Méthode de Jacobi :
On note $A = D + N$ où $D$ est la matrice obtenue avec la diagonale de $A$ et des $0$ ailleurs, puis $N=A–D$.
Remarque : la notation « $N$ » ne doit pas induire en erreur, ce n’est pas forcément nilpotent.
La matrice $D$ est inversible. Soit $Y$ un vecteur.
Si $X$ est solution de $AX=Y$, alors $X$ est solution de $X=-D^{-1}NX+D^{-1}Y$.
Cette dernière expression permet de tenter une itération : $X_{n+1}=-D^{-1}NX_{n}+D^{-1}Y$.
La fonction $F$ étant de $\mathbb R^n$ dans lui-même.
$F : X \mapsto -D^{-1}NX+D^{-1}Y$
Il suffit de démontrer que cette fonction (affine) est contractante en choisissant une norme adaptée.
Cela revient à étudier "une bonne norme" matricielle de $D^{-1}N$.
@math2 On peut aussi plus visuellement prendre une rotation dans $\mathbb{R}^2$. Sa norme d'opérateur pour la norme euclidienne est 1. Pour n'importe quelle autre norme sur $\mathbb{R}^2$, la norme d'opérateur associée de cette rotation est supérieure ou égale à 1 (je crois que c'est vrai pour n'importe quelle autre norme), et en général strictement supérieur (sauf symétrie particulière de la boule unité de la norme considérée).
Au sujet de "je crois que c'est vrai pour n'importe quelle autre norme" :
En effet, je pense au rayon spectral qui minimise les normes matricielles (pas n'importe quelle norme a priori).
Par contre, je me demande si pour d'autres produits scalaires (donc d'autres normes euclidiennes) on a des "relations d'ordre".
Cela dit, si tu ne t'en souviens pas, comment ferais-tu ? :-D
Pour l'exercice 2, une autre manière de le voir est d'utiliser des trucs valable dans toute algèbre de Banach pour inverser $D+N$. On multiplie par $D^{-1}$ (ça préserve l'inversibilité). On trouve $1+D^{-1} N$. Ensuite, on voit que si la norme de $D^{-1} N$ est strictement inférieure à 1, alors $\sum_{k=0}^{\infty} (-D^{-1}N)^k$ converge, et que c'est l'inverse de $1+D^{-1} N$. Comme norme, on prend la norme d'opérateur associée à la norme $1$, ou bien à la norme infini selon le sens dont on a pris les choses.
Pour voir ça avec des histoires de point fixe, on peut dire que l'inverse de $1-a$ est le point fixe de $x \mapsto 1+ax$ (c'est en quelque sorte ce qu'on fait point par point dans ta preuve).
Oui c'est quasiment à cela que la recherche revient pour l'exercice 2.
[small]Mon histoire "d'ordre" était une réflexion un peu naïve et trop rapide d'ailleurs.
1) Le rayon spectral $\rho$ minimise toutes les normes subordonnées ($|||.|||$).
2) La norme subordonnée à la norme 2 (euclidienne), $|||.|||_2$ s'exprime à l'aide du rayon spectral.
J'ai voulu lier ces deux choses mais en escamotant les résultats.
Notamment, "rayon spectral de" n'est pas une norme et surtout $\rho$ n'est pas du tout la même chose que $|||.|||_2$.
En gros, je m'étais dit : si je prends un autre produit scalaire que l'usuel, est-ce que j'obtiens une norme subordonnée "meilleure" (en majoration) que $|||.|||_2$ ?
Bon, mon esprit vagabonda n'importe où...cela m'arrive.[/small]
Suite à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1682228,1682870#msg-1682870, je ne sais pas
Veux-tu m'aider. Merci d'avance ( Si nécessaire, on ouvre un nouveau fil)
Par contre, la démo que je connais du théorème du point fixe s'appuie sur la convergence d'une suite géométrique.
On doit alors s'interdire « les principes de cette démonstration » et aussi l'utilisation des contractions ?
Hum...une idée ?
Tenter l'existence d'abord ? L'unicité d'abord ?
Voilà donc une contrainte ferme : dérivation de fonction à une variable, toute suite croissante majorée converge....
Faux, Je voulais la proposer comme un devoir. J'ai retrouvé le lien mais c'est au forum d'algebre et tu y étais aussi présent http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1424362,1424388#msg-1424388
> Notamment, "rayon spectral de" n'est pas une norme
Oups, j'ai écrit "norme spectrale" ! Je vois que la "norme spectrale" existe aussi (en tout cas en anglais) et est la norme d'opérateur associée à la norme euclidienne.
Bon, ne sachant pas lire l'anglais, je ne tomberai jamais dessus ;-)
Il me semble que le rayon spectral d'une matrice est exactement la norme subordonnée de la matrice quand la norme de l'espace ambiant est un produit scalaire et ce quelque soit le produit scalaire.