Définition de la continuité

Je vais tâcher de retrouver cela...patience ;-)

Un truc bête, par exemple pour montrer la continuité en $(0,0)$ de la fonction qui vaut $0$ en $(0,0)$ et $\frac{x^2+y^3}{|x|+|y|}$ j'aurais tendance à prendre la norme $1$ (ou éventuellement la norme infinie) car le traitement du dénominateur se fait mieux avec l'une de ses normes qu'avec la norme $2$ (où on utiliserait plus ou moins l'équivalence des normes) et pour le numérateur s'est vraiment du pareil au même.

@GaBuzoMeu Attention à l'énoncé de l'équivalence des normes en dimension finie. Penser à $\Q[\sqrt{2}]$ (qui est bien un $\Q-$e.v. de dimension $2$) avec les deux normes visiblement non équivalentes $q_1+q_2 \sqrt{2} \mapsto |q_1+q_2 \sqrt{2}| $ et $q_1+q_2 \sqrt{2}\mapsto |q_1|+|q_2| \sqrt{2}$. On a besoin de la complétude du corps de base.

math2 a écrit:

@GaBuzoMeu Attention à l'énoncé de l'équivalence des normes en dimension finie.

En quoi n'ai-je pas fait attention ?

Voilà deux exercices.
L’idée est de choisir une norme permettant de justifier une contraction (théorème du point fixe de Picard).
Indication : il suffit de jongler avec les normes $1$, $2$ ou $\infty$.
[small]Pour l’exercice 2, que je n'arrive pas vraiment à défendre, une preuve plus simple existe (Wiki).
Je ne sais pas à quel point une valeur approchée de l'inverse est utile dans certains domaines...[/small]

Remarque : pour les normes matricielles (plutôt subordonnées) on peut aussi s'intéresser (façon jeu de plage) à prendre la norme $p$ sur l'espace de départ et la norme $q$ sur l'espace d'arrivée pour voir ce que cela donne...


Exercice 1 – système non linéaire

Démontrer que le système suivant admet une unique solution dans $\mathbb R^2$ :

$\left\{
\begin{array}{l}
x=\dfrac{1}{2}\sin (x+y)\\
y=\dfrac{1}{2}\cos (x-y)
\end{array}
\right.$


Exercice 2 – caractère inversible d’une matrice à diagonale strictement dominante

Démontrer le théorème suivant : Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$.
Si $A$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors $A$ est inversible.

Méthode de Jacobi :
On note $A = D + N$ où $D$ est la matrice obtenue avec la diagonale de $A$ et des $0$ ailleurs, puis $N=A–D$.
Remarque : la notation « $N$ » ne doit pas induire en erreur, ce n’est pas forcément nilpotent.

La matrice $D$ est inversible. Soit $Y$ un vecteur.
Si $X$ est solution de $AX=Y$, alors $X$ est solution de $X=-D^{-1}NX+D^{-1}Y$.
Cette dernière expression permet de tenter une itération : $X_{n+1}=-D^{-1}NX_{n}+D^{-1}Y$.
La fonction $F$ étant de $\mathbb R^n$ dans lui-même.
$F : X \mapsto -D^{-1}NX+D^{-1}Y$

Il suffit de démontrer que cette fonction (affine) est contractante en choisissant une norme adaptée.

Cela revient à étudier "une bonne norme" matricielle de $D^{-1}N$.

;-)

Au sujet de "je crois que c'est vrai pour n'importe quelle autre norme" :
En effet, je pense au rayon spectral qui minimise les normes matricielles (pas n'importe quelle norme a priori).

Par contre, je me demande si pour d'autres produits scalaires (donc d'autres normes euclidiennes) on a des "relations d'ordre".

Ha flûte.
Cela dit, si tu ne t'en souviens pas, comment ferais-tu ? :-D

Ok.
Oui c'est quasiment à cela que la recherche revient pour l'exercice 2.

[small]Mon histoire "d'ordre" était une réflexion un peu naïve et trop rapide d'ailleurs.
1) Le rayon spectral $\rho$ minimise toutes les normes subordonnées ($|||.|||$).
2) La norme subordonnée à la norme 2 (euclidienne), $|||.|||_2$ s'exprime à l'aide du rayon spectral.
J'ai voulu lier ces deux choses mais en escamotant les résultats.
Notamment, "rayon spectral de" n'est pas une norme et surtout $\rho$ n'est pas du tout la même chose que $|||.|||_2$.
En gros, je m'étais dit : si je prends un autre produit scalaire que l'usuel, est-ce que j'obtiens une norme subordonnée "meilleure" (en majoration) que $|||.|||_2$ ?
Bon, mon esprit vagabonda n'importe où...cela m'arrive.[/small]

Heu t'aider à trouver la méthode rapide dont tu parles ou t'aider à résoudre l'exercice 1 ?

Ha ! Ok.
Par contre, la démo que je connais du théorème du point fixe s'appuie sur la convergence d'une suite géométrique.
On doit alors s'interdire « les principes de cette démonstration » et aussi l'utilisation des contractions ?

Hum...une idée ?

Tenter l'existence d'abord ? L'unicité d'abord ?

Ha !
Voilà donc une contrainte ferme : dérivation de fonction à une variable, toute suite croissante majorée converge....

(tu)

Ha. Je ne connaissais pas cette appellation.

Bon, ne sachant pas lire l'anglais, je ne tomberai jamais dessus ;-)