Restes d'une série convergente (vocabulaire)

totem
totem
dans Analyse
Bonjour et bonnes vacances,
quand on parle du reste d'ordre N d'une série convergente, on commence la sommation à N ou N+1 (ça dépend des livres ça !)
Donc quand on considère le reste d'ordre 0 on commence la sommation à 0 (ou 1 selon les cas) ? Il peut alors s'agir de la somme "totale" et il n'y a alors pas de différence avec la série initiale ?

J'ai besoin de clarifier ces notions pour utiliser le théorème de sommation des relations de comparaison...
Merci.

Réponses

  • rakam
    rakam
    Bonjour !
    A mon avis (mais c'est sans grande importance) il vaut mieux commencer la sommation à $N+1$ pour le reste d'ordre $N$. Ainsi on a toujours : somme de la série égale à la somme partielle d'ordre $N$ et de la somme du reste d'ordre $N$.

    En quoi est-ce important pour les relations de comparaison ?
  • totem
    totem
    Je ne sais pas si c'est important ou non, mais dans le doute...:-)

    Je m'interroge sur : " si fn(x)~gn(x) quand x tend vers +oo ( je dis bien x, pas n ) et si somme des fn(x) est convergente alors somme des gn(x) converge et somme fn(x) ~ somme gn(x)" ??

    En fait, il n' y a même pas de restes dans cette proposition, mais comme j'ignore si elle est juste...?

    Ah j'oubliais : ce ne sont pas des séries alternées sinon c'est clair que c'est faux !
  • Dom
    Dom
    Cette proposition m'étonne :
    -on a un équivalent (pour $x$ voisin de l'infini), OK.
    -on a la convergence de la série des $f_n(x)$, OK, mais pour quels $x$ ?

    Remarque : en général, pour que ce genre de propriétés (avec équivalent) fonctionne on se restreint (d'abord) à des éléments de même signe. Je suis très vague, c'est normal.
  • totem
    totem
    Oui en effet :on a la convergence de la série des fn(x) pour x dans R+ privé de 1.

    Au fait fn(x) = xn/(1+x2n) et on cherche un équivalent de la série quand x tend vers +oo, je pense qu'on peut trouver un équivalent avec une série géométrique mais...
  • totem
    totem
    Pour ceux que ça intéresse ou qui s'ennuient à la plage.

    Je trouve comme équivalent en +oo : 1/(x-1) , en 1+ : Pi/(4*ln(x) ) et en 1- : - Pi/(4*ln(x) )

    Sur R - , la série converge sauf en -1, mais on a affaire à des séries alternées, c'est plus embêtant pour trouver un équivalent (ça se fait mais je n'y ai pas goût).
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