Démonstration Variations de f(x) = x²
Bonjour à toutes et à tous
J'ai les Vacances pour réviser et il y a la démonstration des variations de la fonction carré où je peux refaire, refaire, refaire et
je n'arrive pas à comprendre comment trouver le résultat.
C'est une démonstration que nous avons vu en Janvier et j'apprécierais vraiment si quelqu'un pouvait m'aider ou me guider pour la refaire.
J'ai les Vacances pour réviser et il y a la démonstration des variations de la fonction carré où je peux refaire, refaire, refaire et
je n'arrive pas à comprendre comment trouver le résultat.
C'est une démonstration que nous avons vu en Janvier et j'apprécierais vraiment si quelqu'un pouvait m'aider ou me guider pour la refaire.
Réponses
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Bonjour,
Soit la fonction $x \mapsto x^2.$
Quel est son domaine de définition ?
Comment étudier les variations ? -
Bonjour Delphin.
En quelle classe étais-tu en janvier ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Tu peux déjà commencer par écrire ce que veut dire qu'une fonction $f$ est croissante ou décroissante sur un certain intervalle : il s'agit essentiellement de comparer $f(x)$ et $f(y)$ quand $x \leq y$. Pour cela, tu peux essayer, dans le cas de la fonction carré, d'étudier le signe de $f(y)-f(x)$, s'il est positif c'est que $f(y) \geq f(x)$ et s'il est négatif c'est que $f(y) \leq f(x)$.
-
Bonjour ev
J'étais en seconde cette année. -
Pour répondre à Yves M
Quelle est le domaine de définition de x²
f(x) = x² est décroissante, elle passe par 0 puis elle est croissante, donc le domaine de définition $D_f = ]-\infty;+\infty[$ -
Bonjour,
Le domaine de définition est l'ensemble des $x$ pour lesquels la fonction $f$ est définie. Or pour tout $x$ on peut calculer $x^2$ : l'ensemble de définition est donc $\R$ : l'ensemble des réels.
Ceci n'a rien à voir avec la croissance, la décroissance, le passage par $0$...
On a donc une fonction $f$ définie pour tous réels par $f: x \mapsto x^2, x \in \R$.
Comment étudier les variations ? -
Soyons précis.
La fonction carré est décroissante sur l'intervalle \( ]-\infty;0] \) et croissante sur l'intervalle \( [0;+\infty[ \).
Nous allons commencer par démontrer la croissance sur l'intervalle \( [0;+\infty[ \). Les nombres négatifs sont une pure saloperie, invention des mathématiciens pour faire trébucher les simples mortels.
Prenons donc deux nombres réels positifs \( x_1 \) et \( x_2 \), vérifiant \( x_1 < x_2 \).
Comparer deux nombres, c'est étudier le signe de leur différence. Tes professeurs te l'ont klaxonné dans les oreilles un grand nombre de fois. C'est le moment de s'en souvenir puisqu'il s'agit de comparer les nombres \( f(x_1)= x_1^2 \) et \( f(x_2)= x_2^2 \).
À toi :
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
comparer deux nombres, c'est dire si l'un est plus grand que l'autre
si je prends un exemple numérique, je prends $x_1 = 3$ et $x_2=6$
là, on voit bien que on a cet ordre : 3 < 6 -
Je klaxonne à mon tour, avec une pensée pour tes professeurs successifs :[large]Comparer deux nombres c'est étudier le signe de leur différence.[/large]
Une fois que tu auras compris l'utilité de ce coup de klaxon, tu pourras comprendre la pertinence de l'intervention de gebrane - que je salue - pas celle sur les banquiers bien sûr.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
@ev que je salue, un coup de klaxonne des élèves à leur professeur https://www.dailymotion.com/video/x1ppkt3Le 😄 Farceur
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@ev
Annonces-tu cela comme une définition ?
Pour moi c'est un théorème. Mais je conviens qu'on s'en tape la coquille.
@tous
Aussi, pour ce cas, j'aurais appliqué les règles (axiomes ou théorèmes ?) simples de la relation d'ordre $\leq$ (stabilité par multiplication par un nombre strictement positif, transitivité...).
Mais inutile d'embrouiller le fil. -
Comparer deux nombres c'est étudier leur différence
et bien, j'ai cherché dans mes cahiers de 4e et de 3e, pourtant je n'ai rien trouvé là dessus... -
@delphin : c'est plutôt
Comparer deux nombres c'est étudier [b]le signe[/b] de leur différence
T'es bien d'accord que si tu prends deux nombres (réels) $x,y$ , tu as : $x < y$ si et seulement si $x-y < 0$ ?
Dès lors, tu vois que pour comparer deux nombres, tu regardes le signe de leur différence :
Si $x-y < 0$, cela signifie en fait que $x$ est plus petit que $y$
Si $x-y >0$, cela signifie que $x$ est plus grand que $y$
Et si $x-y=0$ et bien ... je pense que tu as compris :-D
C'est un fait qui relativement courant en mathématiques : parfois, au lieu de comparer de manière brute des expressions (ou de voir si deux expressions sont égales), il suffit en fait de faire la différence, et de voir le signe (ou la nullité) de la différence. -
je le comprends mieux comme ça :`
$x_1 < x_2$ signifie $x_1$ est inférieur à $x_2$, c'est que $x_2$ iest supérieur à $x_1$
si je soustrais à $x_2$ un nombre qui lui est inférieur, forcément la différence des deux est positive
$x_2 - x_1 > 0$ -
$x<y$ si et seulement si $x - y < 0$
(dans ma tête ) c'est pas très parlant
$x<y$ signifie je compare x à y
$x-y<0$ signifie : je mets tous dans un même membre pour faire une comparaison à 0 -
L'avantage de regarder le signe, c'est-à-dire de comparer à zéro - c'est qu'on connait des résultats sur le signe d'un produit.
Un produit de deux nombres positif est positif, etc.
Le propre de l'algèbre, c'est qu'elle n'est pas parlante.
Plus exactement, elle court-circuite les discours.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
pour les équation produit ( vu en 3e) j'ai eu aucun problème
-
pose moi une question sur les équations produit et tu verras que je n'ai aucun problème pour résoudre
par contre dire que : $x<y$ si et seulement si $x - y < 0 $ là, c'est moins parlant ( je sais pas pourquoi) mais dans ma tête, c'est moins parlant -
D'où mon intervention : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1682904,1683012#msg-1683012
-
je vais continuer le message de ev
Je commence par démontrer la croissance de la fonction carré sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$
Donc on a pris deux nombres positifs $x_1$ et $x_2$ vérifiant $x_1 < x_2$
et je dois comparer les nombres $( f(x_1)= x_1^2 $ et $ f(x_2)= x_2^2 $.
$f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2)$
et maintenant je cherche à comparer le produit de 2 facteurs à 0
j'obtiens un produit de 2 facteurs $ (x_1 + x_2) (x_1 - x_2) $
et je compare ce produit à 0 -
je crois avoir compris
le but c'est d'obtenir cette forme là : $(x_1 + x_2)( x_1 - x_2) $
Pourquoi ?
c'est parce que l'on peut appliquer les règles : un produit de 2 facteurs négatifs donne un produit positif, un produit de 2 facteurs de signes différents donne un produit négatif -
Exactement :-)
Et plus précisément, le produit de deux réels de mêmes signes est positif, et le produit de deux réels de signes opposés est négatif ;-) -
oui, c'est mieux comme cela
le produit de deux réels de même signe ( soit $+ \times +$ ; soit $-\times -$) alors ce produit est positif
le produit de deux réels de signes différents ( soit $-\times +$ ; soit $+\times -$ ) -
Le but est de faire ressortir cette forme là : $(x_1 + x_2) (x_1 + x_2)$
En calculant la différence de deux images et bien on s'aperçoit que l'on arrive à une équation - produit, ce qui nous intéresse car on peut connaitre le signe de ce produit.
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Bonjour!
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