Suite géométrique divergente
dans Analyse
Bonjour, une question comme ça :
Si $q>1$, alors la suite $(q^n)$ tend vers l'infini.
Je sais faire en utilisant le schéma de récurrence : $\forall n ,\ (1+p)^n \geqslant 1+np$ pour $p>0$. Mais peut-on admettre moins en Terminale STI2D ?
Merci de votre attention.
Si $q>1$, alors la suite $(q^n)$ tend vers l'infini.
Je sais faire en utilisant le schéma de récurrence : $\forall n ,\ (1+p)^n \geqslant 1+np$ pour $p>0$. Mais peut-on admettre moins en Terminale STI2D ?
Merci de votre attention.
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Réponses
Pas besoin de récurrence, si on développe $(1+p)^n=(1+p)(1+p)(1+p) ... (1+p)$, on trouve $1+np$ plus d'autres termes positifs : le produit des n 1, plus le produit de chaque p par les 1 des autres parenthèses.
Il peut être utile d'avoir fait développer préalablement $(1+p)^2, (1+p)^3$ et $(1+p)^4$.
Cordialement.
NB : En Stidd, peu d'élèves voient l'intérêt d'une preuve mathématisée, une explication "qui emporte la conviction" suffit.
j'en étais là aussi, mais si des personnes du forum ont des fulgurances elles sont bienvenues, j'apprendrais quelque chose.
Pour $q > 1$ on minore simplement chacun des $n$ termes par $1$ et on obtient $q^n - 1 \geq (q-1) n$.
L’inégalité est trivialement vraie pour n=0 et 1
Soit n>1 et $f(x)=(1+x)^n-1-nx,\quad \forall x\geq 0$
$f'(x)=n((1+x)^{n-1}-1)\geq 0,\quad \forall x\geq 0$ et $f(0)=0$ CQFD
Pour Gebrane, c'est dans la formule de dérivation de $t\mapsto t^n$, je crois, que c'est "caché" aussi.
Ce ne sont pas des critiques mais juste une façon de dire qu'on ne peut, peut-être pas, se passer tôt ou tard d'un récurrence (cachée dans les admis, donc pour un lycéen ce ne sont pas des récurrences).
Le programme dit "Pour exprimer que la suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, on dit que, pour tout entier naturel $p$ on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes $u_n$ sont supérieurs à $10^p$".
Du coup, quelque soit $p$, pour $n \geq \frac{p}{\ln(q)}$,
$n\log(q) \geq p$, c'est à dire $\log(q^n) \geq p$.
Puis on passe à la puissance $10$ :
$10^{\log(q^n)} \geq 10^p$
D'où le résultat,
$q^n \geq 10^p$
$t^n=e^{n\ln(t)},\forall t>0$ je te laisse dériver pour avoir le cœur net
Bon, alors soit $q>1$.
Je connais la fonction exponentielle et la fonction logarithme.
Je sais qu'alors : $\ln q > 0$.
Pour tout réel positif $n$, $q^n=e^{n\ln q}=(e^n)^{\ln q}$.
$e^n$ tend vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini.
Puis je compose par $t\mapsto t^{\ln q}$, quand $t$ tend vers l'infini, ça tend vers l'infini.
Heu...est-ce vraiment l'esprit de l'exercice ?
Pour ton second message "trivialement" et "pas besoin d'une récurrence", je ne suis pas sûr.
Ou alors j'ai mal compris les messages à ce sujet (récurrence...).
Cordialement.
Je ne comprends pas ton dernier post
Soit n>1 fixé et la fonction f définie par $f(t)=t^n,\quad \forall t>0$
Question: Montrer que $f'(t)=nt^{n-1}$ sans récurrence.
Moi je dis oui et sans triche. Tu me reproches quoi au juste
Ce qui m'intrigue c'est qu'avec, par exemple, $1000$, on utilise des pointillés mais ils sont un vrai raccourci (c'est « concret » pour la personne lambda et c'est juste par manque de place et de temps). Mais je reste songeur...
Montrons que $\frac{q^n - 1}{q-1} = 1 + q + \dots + q^{n-1}$ avec un raisonnement autre que le raisonnement par recurrence
Soit $S_n=1 + q + \dots + q^{n-1}$ et on multiplie par q d'où
$qS_n=q + q^2 + \dots + q^{n}$ d'où $S_n-qS_n=1-q^n$ CQFD
J'étais dans le fil et son contexte.
J'interprète ce que l'on demande comme si on ne connaissait pas l'exponentielle.
J'ai peut-être tort.
Dans ce cas on peut démontrer que $(t\mapsto t^n)'=n(t\mapsto t^{n-1})$ avec une récurrence
Sans récurrence (et sans connaître l'exponentielle), je ne vois pas.
Edit : je m'interroge même sur la définition de $a^n$ pour un réel $a$ et un entier naturel $n$...
J'ajoute que si on connaît l'exponentielle, alors oui, la question est triviale avec les premiers résultats des fonctions puissances.
Edit : ta définition de $S_n$ se fait par récurrence, d'après moi.
Je ne suis que novice sur ces sujets mais voilà une question : sais-tu rédiger une preuve sans pointillé ?
Un lecteur pourrait très bien demander ce que cela signifie (même si "tout l'monde comprend").
@Dom Montrons sans pointillé pointque $\frac{q^{n+1} - 1}{q-1} = \sum_{k=0}^n q^k$ avec un raisonnement autre que le raisonnement par récurrence
Soit $S_n=\sum_{k=0}^n q^{k}$ et on multiplie
par q d'où $qS_n=\sum_{k=0}^n q^{k+1}=\sum_{k=1}^{n +1}q^{k}$ d'où $S_n-qS_n=1-q^{n+1}$ CQFD
Des reproches?
Ce n'est pas une taquinerie, je suis très sérieux.
Les pointillés sont un symbole à définir. Tu le remplaces par un autre symbole...à definir.
la formule sur les sommes que tu utilises (multiplication par x) est soit "évidente", soit démontrée par récurrence.
En fait, pour ce genre de calculs, on s'en fout; mais face à un contradicteur qui te dit "je ne comprends pas pourquoi c'est vrai", tu vas peu à peu te ramener à une preuve par récurrence ou équivalent.
A noter, je ne connais pas de preuve de $t^n=e^{n\ln(t)}$ qui n'utilise pas une récurrence "immédiate".
[mode pinailleur on]
Mais en fait, comme dans la construction des entiers, on utilise largement la récurrence, par exemple pour définir la multiplication, ou les puissances, on en a quand même besoin.
[mode pinailleur off]
Et tout ça passe bien au-dessus de la tête des élèves de STIDD.
Cordialement.
On s'est éloigné du sujet initial, à cause de cette classique question de "ne pas utiliser de récurrence", qui n'est qu'une précaution vu les élèves en cause.
Cordialement.
Je ne faisais qu'une remarque, au départ.
Alors tout est récurrence dés qu'il y a un n :-D
Je dirais plus prosaïquement, on peut tout contredire, y compris soit même, ce qui est le comble de l'incohérence. (:P)
édit : 2 de repèrer, sur 3 ?
Vu le niveau que te prête les autres intervenants de ce forum, tu pourrais utiliser ton temps pour autre chose que traquer les fautes de français, ce qui te permettrait d'être plus utile que tu ne l'aies maintenant.
combien de fautes maintenant ?
Je ne traque pas spécialement les fautes. Mais quand il y en a d'aussi grosses et rapprochées, ça me fait mal aux yeux.
Si j'arrivais à te convaincre de l'utilité de l'analyse grammaticale (c'est en gros de la logique) et de faire attention à ton expression écrite, alors je me sentirais très utile.
Est-ce bien cela : « Alors tout est récurrence dés qu'il y a un n » ?
Disons qu'il faut le comprendre comme : « Dès que l'on admet l'existence de $\mathbb N$, alors on parle déjà de récurrence ». J'entends pas existence les axiomes de Peano.
J'utilise "parle" qui est un peu vague, je sais.
Je recherche des discussions pourtant souvent ravivées, notamment par les interventions précises de @cc, mais en vain.
Je vois que maintenant vous vous mettez en "meute"...:-D
Non, je pense qu'avant de respecter les régles formelles de l'orthographe, il faut commencer par respecter les régles élémentaires du vivre ensemble.
J'ai repris Dom et Gérard, que dans ce cadre là (contradiction gratuite), sans cela je ne me le permettrais pas, tout comme tu m'as repris pour mon orthographe.
Ta clarification (ton dernier message) et la mienne (ce message) éviteront, je l'espère, tous malentendus.
Il faut commencer par respecter les règles de CE forum, et pour cela lire la charte.
Cordialement,
Rescassol
Mais d'un point de vue logique, auquel Dom pourrait avoir à redire compte tenu de son échange avec gebrane, je dis : pourquoi pas ? Par contre je me demande si cela répondrait au critère de gerard0, à savoir, emporter la conviction.
Ce détail n'a pas d'importance si l'on se met du point de vue d'un élève. Je comprends qu'un professeur souhaitent savoir s'il peut démontrer quelque chose à ses élèves avec leurs bagages au temps $t$.
Il a de l'importance pour "les professionnels" d'un point de vue "axiome" (j'utilise le terme dans un sens très général).
Les programmes sont comme ça : on utilise les entiers sans les définir.
Et ça, ce n'est vraiment pas important du tout.
Le primaire et le secondaire sont fabriqués comme ça, c'est un fait.
Aussi, je ne crois pas qu'il faille faire du Peano en CP.
Sur la méthode de @Tryss, il dit bien "si le logarithme a été vu avant".
Je n'ai pas les programmes en tête et de toute manière aucune progression n'est imposée, il me semble.
la digression ne m'est pas dérangeante, et, pour ce que vous évoquez un livre m'apaise : Qu'est ce que les mathématiques ? de Richard Courant et Herbert Robbins. Livre dont je comprends des idées dans une langue d'origine qui n'est pas le français.
En mode S'il vous plaît ... dessine moi une digression :
Question pour les grammairiens professionnels : comment en est-on arrivé à cette tournure "qu'est-ce que" ? qui, découpée en mots est, comment dire ..., amusante.
ne le prenez pas mal, mais votre façon de voir me donne l'idée d'une démonstration type poisson d'avril qui commencerait par "Chapitre 5 : Théorèmes de Brouwer." :-)
si on s'en tient au français c'est impensable, non ?
Jeanne d'Arc est-elle allée à l'école ? Si oui, nom de nom, qu'a-t-elle appris ? photo en pièce jointe pour comprendre :-)
Pour le texte écrit sur le socle, il s'agit de ce qu'on appelle "ancien français". L'orthographe du français a subi tellement de variations qu'il est déjà pénible de lire Balzac en édition originale.
Cordialement.
C'est l'instant thé.
(tu)