Suite géométrique divergente
dans Analyse
Bonjour, une question comme ça :
Si $q>1$, alors la suite $(q^n)$ tend vers l'infini.
Je sais faire en utilisant le schéma de récurrence : $\forall n ,\ (1+p)^n \geqslant 1+np$ pour $p>0$. Mais peut-on admettre moins en Terminale STI2D ?
Merci de votre attention.
Si $q>1$, alors la suite $(q^n)$ tend vers l'infini.
Je sais faire en utilisant le schéma de récurrence : $\forall n ,\ (1+p)^n \geqslant 1+np$ pour $p>0$. Mais peut-on admettre moins en Terminale STI2D ?
Merci de votre attention.
Réponses
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Bonjour.
Pas besoin de récurrence, si on développe $(1+p)^n=(1+p)(1+p)(1+p) ... (1+p)$, on trouve $1+np$ plus d'autres termes positifs : le produit des n 1, plus le produit de chaque p par les 1 des autres parenthèses.
Il peut être utile d'avoir fait développer préalablement $(1+p)^2, (1+p)^3$ et $(1+p)^4$.
Cordialement.
NB : En Stidd, peu d'élèves voient l'intérêt d'une preuve mathématisée, une explication "qui emporte la conviction" suffit. -
Merci gerard0,
j'en étais là aussi, mais si des personnes du forum ont des fulgurances elles sont bienvenues, j'apprendrais quelque chose. -
En TSTI2D on sait que si $q \neq 1$, alors $\frac{q^n - 1}{q-1} = 1 + q + \dots + q^{n-1}$.
Pour $q > 1$ on minore simplement chacun des $n$ termes par $1$ et on obtient $q^n - 1 \geq (q-1) n$. -
Bien vu !
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Par étude de fonction?
L’inégalité est trivialement vraie pour n=0 et 1
Soit n>1 et $f(x)=(1+x)^n-1-nx,\quad \forall x\geq 0$
$f'(x)=n((1+x)^{n-1}-1)\geq 0,\quad \forall x\geq 0$ et $f(0)=0$ CQFDLe 😄 Farceur -
Merci Siméon et gebrane pour ces points de vue différents.
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Une petite remarque : il me semble que les suggestions de Gérard et Siméon utilisent une récurrence que je qualifie "d'immédiate" pour la première et qui est cachée dans la formule connue $\frac{q^n - 1}{q-1} = 1 + q + \dots + q^{n-1}$.
Pour Gebrane, c'est dans la formule de dérivation de $t\mapsto t^n$, je crois, que c'est "caché" aussi.
Ce ne sont pas des critiques mais juste une façon de dire qu'on ne peut, peut-être pas, se passer tôt ou tard d'un récurrence (cachée dans les admis, donc pour un lycéen ce ne sont pas des récurrences). -
Si le logarithme a été vu avant, c'est faisable sans récurrence.
Le programme dit "Pour exprimer que la suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, on dit que, pour tout entier naturel $p$ on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes $u_n$ sont supérieurs à $10^p$".
Du coup, quelque soit $p$, pour $n \geq \frac{p}{\ln(q)}$,
$n\log(q) \geq p$, c'est à dire $\log(q^n) \geq p$.
Puis on passe à la puissance $10$ :
$10^{\log(q^n)} \geq 10^p$
D'où le résultat,
$q^n \geq 10^p$ -
Quand même Dom la dérivée de $t\to t^n$ est la dérivée d'une composée donc pas besoin d'une récurrenceLe 😄 Farceur
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Composée ? Zut je loupe quelque chose ?!
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Aussi la formule $\frac{q^n - 1}{q-1} = 1 + q + \dots + q^{n-1}$ se démontre trivialement sans le besoin d'une récurrenceLe 😄 Farceur
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Houlala d'accord. Je crois que dans ce cas tu triches, d'une part, et que tu en fais un peu trop.
Bon, alors soit $q>1$.
Je connais la fonction exponentielle et la fonction logarithme.
Je sais qu'alors : $\ln q > 0$.
Pour tout réel positif $n$, $q^n=e^{n\ln q}=(e^n)^{\ln q}$.
$e^n$ tend vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini.
Puis je compose par $t\mapsto t^{\ln q}$, quand $t$ tend vers l'infini, ça tend vers l'infini.
Heu...est-ce vraiment l'esprit de l'exercice ? -
En général, dans les calculs avec des .... ces .... sont une façon d'écrire une récurrence "immédiate".
Cordialement. -
@Dom
Je ne comprends pas ton dernier post
Soit n>1 fixé et la fonction f définie par $f(t)=t^n,\quad \forall t>0$
Question: Montrer que $f'(t)=nt^{n-1}$ sans récurrence.
Moi je dis oui et sans triche. Tu me reproches quoi au justeLe 😄 Farceur -
C'est à cela que je pense Gérard.
Ce qui m'intrigue c'est qu'avec, par exemple, $1000$, on utilise des pointillés mais ils sont un vrai raccourci (c'est « concret » pour la personne lambda et c'est juste par manque de place et de temps). Mais je reste songeur... -
Ok @gebrane
J'étais dans le fil et son contexte.
J'interprète ce que l'on demande comme si on ne connaissait pas l'exponentielle.
J'ai peut-être tort.
Dans ce cas on peut démontrer que $(t\mapsto t^n)'=n(t\mapsto t^{n-1})$ avec une récurrence
Sans récurrence (et sans connaître l'exponentielle), je ne vois pas.
Edit : je m'interroge même sur la définition de $a^n$ pour un réel $a$ et un entier naturel $n$...
J'ajoute que si on connaît l'exponentielle, alors oui, la question est triviale avec les premiers résultats des fonctions puissances.
Edit : ta définition de $S_n$ se fait par récurrence, d'après moi.
Je ne suis que novice sur ces sujets mais voilà une question : sais-tu rédiger une preuve sans pointillé ?
Un lecteur pourrait très bien demander ce que cela signifie (même si "tout l'monde comprend"). -
une question : sais-tu rédiger une preuve sans pointillé ?
@Dom Montrons sans pointillé pointque $\frac{q^{n+1} - 1}{q-1} = \sum_{k=0}^n q^k$ avec un raisonnement autre que le raisonnement par récurrence
Soit $S_n=\sum_{k=0}^n q^{k}$ et on multiplie
par q d'où $qS_n=\sum_{k=0}^n q^{k+1}=\sum_{k=1}^{n +1}q^{k}$ d'où $S_n-qS_n=1-q^{n+1}$ CQFD
Des reproches?Le 😄 Farceur -
Définissons maintenant l'objet ou le symbole $\displaystyle \sum$.
Ce n'est pas une taquinerie, je suis très sérieux.
Les pointillés sont un symbole à définir. Tu le remplaces par un autre symbole...à definir. -
Gebrane,
la formule sur les sommes que tu utilises (multiplication par x) est soit "évidente", soit démontrée par récurrence.
En fait, pour ce genre de calculs, on s'en fout; mais face à un contradicteur qui te dit "je ne comprends pas pourquoi c'est vrai", tu vas peu à peu te ramener à une preuve par récurrence ou équivalent.
A noter, je ne connais pas de preuve de $t^n=e^{n\ln(t)}$ qui n'utilise pas une récurrence "immédiate".
[mode pinailleur on]
Mais en fait, comme dans la construction des entiers, on utilise largement la récurrence, par exemple pour définir la multiplication, ou les puissances, on en a quand même besoin.
[mode pinailleur off]
Et tout ça passe bien au-dessus de la tête des élèves de STIDD.
Cordialement. -
Je crois qu'on ne parle pas de la même chose . Une preuve par récurrence est un preuve avec une initialisation et une hérédité. Je suppose que l'expression mathématique $1+q+....q^n$ est bien définie et a un sens car sinon pourquoi chercher une preuve de la formule rappelée ((er?) merci gerard0 ) par SimeonLe 😄 Farceur
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Si c'est bien défini, essaye de bien le définir.
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C'est bien rappelée (prise, pas prendre).
On s'est éloigné du sujet initial, à cause de cette classique question de "ne pas utiliser de récurrence", qui n'est qu'une précaution vu les élèves en cause.
Cordialement. -
En effet, c'est un peu de ma faute d'ailleurs.
Je ne faisais qu'une remarque, au départ. -
Alors tout est récurrence dés qu'il y a un n :-DLe 😄 Farceur
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Erreur mauvais filLe 😄 Farceur
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gebrane
Alors tout est récurrence dés qu'il y a un n :-D
Je dirais plus prosaïquement, on peut tout contredire, y compris soit même, ce qui est le comble de l'incohérence. (:P)
édit : 2 de repèrer, sur 3 ? -
Tu es un(e) contradicteur(trice) à plein temps...(:D
Vu le niveau que te prête les autres intervenants de ce forum, tu pourrais utiliser ton temps pour autre chose que traquer les fautes de français, ce qui te permettrait d'être plus utile que tu ne l'aies maintenant.
combien de fautes maintenant ? -
2
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Il reste une faute dans ton premier message (et tu en as ajouté une belle dans ton"édit"), et il y en a deux bonnes grosses dans ton second.
Je ne traque pas spécialement les fautes. Mais quand il y en a d'aussi grosses et rapprochées, ça me fait mal aux yeux.
Si j'arrivais à te convaincre de l'utilité de l'analyse grammaticale (c'est en gros de la logique) et de faire attention à ton expression écrite, alors je me sentirais très utile. -
J'en reviens à ce propos de @gebrane qui, grosso-modo, clôt la question.
Est-ce bien cela : « Alors tout est récurrence dés qu'il y a un n » ?
Disons qu'il faut le comprendre comme : « Dès que l'on admet l'existence de $\mathbb N$, alors on parle déjà de récurrence ». J'entends pas existence les axiomes de Peano.
J'utilise "parle" qui est un peu vague, je sais.
Je recherche des discussions pourtant souvent ravivées, notamment par les interventions précises de @cc, mais en vain. -
Contredire est chez vous une seconde nature ?
Je vois que maintenant vous vous mettez en "meute"...:-D
Non, je pense qu'avant de respecter les régles formelles de l'orthographe, il faut commencer par respecter les régles élémentaires du vivre ensemble.
J'ai repris Dom et Gérard, que dans ce cadre là (contradiction gratuite), sans cela je ne me le permettrais pas, tout comme tu m'as repris pour mon orthographe.
Ta clarification (ton dernier message) et la mienne (ce message) éviteront, je l'espère, tous malentendus. -
Merci Tryss, je découvre ce niveau et les progressions que j'ai pu consulter mettaient le logarithme néperien après les limites de suites.
Mais d'un point de vue logique, auquel Dom pourrait avoir à redire compte tenu de son échange avec gebrane, je dis : pourquoi pas ? Par contre je me demande si cela répondrait au critère de gerard0, à savoir, emporter la conviction. -
Bon, je me sens responsable de cette digression sur un détail.
Ce détail n'a pas d'importance si l'on se met du point de vue d'un élève. Je comprends qu'un professeur souhaitent savoir s'il peut démontrer quelque chose à ses élèves avec leurs bagages au temps $t$.
Il a de l'importance pour "les professionnels" d'un point de vue "axiome" (j'utilise le terme dans un sens très général).
Les programmes sont comme ça : on utilise les entiers sans les définir.
Et ça, ce n'est vraiment pas important du tout.
Le primaire et le secondaire sont fabriqués comme ça, c'est un fait.
Aussi, je ne crois pas qu'il faille faire du Peano en CP.
Sur la méthode de @Tryss, il dit bien "si le logarithme a été vu avant".
Je n'ai pas les programmes en tête et de toute manière aucune progression n'est imposée, il me semble. -
Si les élèves connaissent l'alternative des suites monotones alors on peut montrer que le cas d'une limite finie $\ell $ (nécessairement au moins égale à $1$) est exclue car alors $q\ell=\ell$. Ainsi la suite tend vers $+\infty$
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Dom,
la digression ne m'est pas dérangeante, et, pour ce que vous évoquez un livre m'apaise : Qu'est ce que les mathématiques ? de Richard Courant et Herbert Robbins. Livre dont je comprends des idées dans une langue d'origine qui n'est pas le français.
En mode S'il vous plaît ... dessine moi une digression :
Question pour les grammairiens professionnels : comment en est-on arrivé à cette tournure "qu'est-ce que" ? qui, découpée en mots est, comment dire ..., amusante. -
Ha oui, je suis tombé sur une traduction mot-à-mot en anglais de "qu'est-que c'est" : ça donne un de ces trucs imprononçables.
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vincent83,
ne le prenez pas mal, mais votre façon de voir me donne l'idée d'une démonstration type poisson d'avril qui commencerait par "Chapitre 5 : Théorèmes de Brouwer." :-) -
Dom,
si on s'en tient au français c'est impensable, non ? -
Oui, oui, je suis d'accord. « Qu'est-ce » suffit.
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Dom, la nuit est claire, je poursuis :
Jeanne d'Arc est-elle allée à l'école ? Si oui, nom de nom, qu'a-t-elle appris ? photo en pièce jointe pour comprendre :-) -
Il est probable que Jehanne d'Arc ait été quelqu'un d'assez cultivé. Le fait qu'elle assume sa défense dans le procès de Rouen en témoigne.
Pour le texte écrit sur le socle, il s'agit de ce qu'on appelle "ancien français". L'orthographe du français a subi tellement de variations qu'il est déjà pénible de lire Balzac en édition originale.
Cordialement. -
intéressant ce "ait été" gerard0.
C'est l'instant thé. -
La phrase sur le socle est du très bon français, sans faute, de l'époque. Rien à voir avec le "J'est visiter mes bon amis de Compiègne" qui reprend quelques fautes d'un intervenant que je ne nommerai pas (confusion être/avoir, confusion participe passé/infinitif, non respect de l'accord).
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@ GaBuZoMeu
(tu) -
$\text{gebrane} \in\{\text{confusion être/avoir, confusion participe passé/infinitif, non respect de l'accord}\}$ Y a-t-il d'autres qui se reconnaissent appartenir à cet ensemble gabuzien ?:-)Le 😄 Farceur
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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