Intégrales généralisées

Bonjour,

1) j'ai trouvé un théorème qui pourrait être le "théorème de Riemann" que je cherche :
Soit $\alpha$ un réel, $\quad\displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} $ converge si $\alpha<1$ et diverge si $\alpha \geq 1$
$\quad\displaystyle \int_1^{+ \infty} \frac{dt}{t^\alpha} $ converge si $\alpha > 1$ et diverge si $\alpha \leq 1$

Je pense qu'il est assez facile à démontrer.

2) @Cyrano
Merci, pour moi la limite de $x \mapsto \dfrac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}}$ en $0^+$ est $+ \infty$

Mais celle de $x \mapsto \sqrt(x) \dfrac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}}$ est bien $1/2$ mais quel est l'intérêt?

3) @Fin de partie
Merci.

Pour la rédaction je pense qu'il faut séparer en 2 intégrales avec la relation de Chasles.

$\quad \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{x^2+x}{x^7+7x^6+3x^2+7} dx=\int_0^{1} \frac{x^2+x}{x^7+7x^6+3x^2+7} dx + \int_1^{+\infty} \frac{x^2+x}{x^7+7x^6+3x^2+7} dx$

$x \mapsto \frac{x^2+x}{x^7+7x^6+3x^2+7} $ est continue sur $[0;1]$ donc $\int_0^{1} \frac{x^2+x}{x^7+7x^6+3x^2+7} dx$ est finie

$x \mapsto \frac{x^2+x}{x^7+7x^6+3x^2+7} $ est équivalent à $x \mapsto \frac{1}{x^5} $ en $+ \infty$ , positive et continue sur $[1;+\infty[$.
D'après le théorème d'équivalence, $ \int_1^{+\infty} \frac{x^2+x}{x^7+7x^6+3x^2+7} dx$ converge puisque $ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^5} dx$ converge.

Ainsi, $\quad \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{x^2+x}{x^7+7x^6+3x^2+7} dx$ est convergente

4)
Quel théorème dit ce qui suit? :
"Si une fonction $f$ est continue sur $[a;b]$ alors $\quad \displaystyle \int_a^b f(x) dx$ est finie"

Bonjour,

1) Est-ce que le théorème suivant peut-être appelé "de Riemann"? :
Soit $\alpha$ un réel, $\quad\displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} $ converge si $\alpha<1$ et diverge si $\alpha \geq 1$
$\quad\displaystyle \int_1^{+ \infty} \frac{dt}{t^\alpha} $ converge si $\alpha > 1$ et diverge si $\alpha \leq 1$

Pour le démontrer, on calcule simplement les intégrales?

2)
a) Pour prouver la convergence de $\quad\displaystyle \int_0^{1} \frac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}} dx$, j'utilise le critère suivant :
Soient $f,g:]a,b]\to[0,+\infty[$, tels que $f\sim_a g$ alors $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont de même nature
Donc puisque $\frac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}} \sim_0 \frac{1}{2\sqrt{x}}$ et que $\quad\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{2\sqrt{x}} dx $ est convergente d'après le théorème de Riemann alors $\quad\displaystyle \int_0^{1} \frac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}} dx$ converge

b) Pour prouver la convergence de $\quad\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}} dx$, j'utilise le critère suivant :
Soient $f,g:[a,b[\to[0,+\infty[$, tels que $0\leq f \leq g$ au voisinage de $b$ alors si $\int_a^b g(t)dt$ converge alors $\int_a^b f(t)dt$ converge

Or pour tout $x \in [1; +\infty[$, $\frac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}} \leq \frac{2}{x^2 \sqrt{x}}$

or d'après le théorème de Riemann ( dans 1)), $\quad\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{2}{x^2 \sqrt{x}} dx$ converge donc $\quad\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}} dx$ converge

c) Ainsi $\quad\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}} dx$ converge car $\quad\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}} dx$ et $\quad\displaystyle \int_0^{1} \frac{1-\cos(x)}{x^2 \sqrt{x}} dx$ convergent

4)
Quel théorème dit ce qui suit? :
"Si une fonction $f$ est continue sur $[a;b]$ alors $\quad \displaystyle \int_a^b f(x) dx$ est finie"

5) On me demande la convergence de $\quad\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-2x^2} dx$
Pour tout $x \in [0; + \infty[$, $0 \leq e^{-2x^2} \leq \frac{1}{2x^2}$. Puisque $\quad\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1}{2x^2} dx$ converge d'après le théorème de Riemann (1) ) et d'après le critère de comparaison, $\quad\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-2x^2} dx$ converge

Est-ce bon?

4) @math2 je ne cherche pas à montrer que la différence entre les intégrales de $\psi$ et $\phi$ est nulle. Je le suppose déjà puisque la fonction est supposée intégrable. Je veux juste montrer que cette intégrale est finie sur $[a;b]$.

Peut-être que intégrable signifie déjà que l'intégrale est finie?

7)
$\quad\displaystyle \int_0^{+ \infty} \frac{\sin(x)}{x^\alpha} dx=\int_0^{\pi/2} \frac{\sin(x)}{x^\alpha} dx + \int_{\pi/2}^{+ \infty} \frac{\sin(x)}{x^\alpha} dx$

$\frac{\sin(x)}{x^\alpha} \sim_0 \frac{1}{x^{\alpha-1}}$ et $\frac{\sin(x)}{x^\alpha} \geq 0$ pour $x \in ]0;\pi/2]$
or $\quad\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{1}{x^{\alpha-1}} dx$ converge ssi $\alpha-1<1$ ssi $\alpha<2$
donc $\int_0^{\pi/2} \frac{\sin(x)}{x^\alpha} dx $ converge ssi $\alpha<2$

$\quad\displaystyle \int_{\pi/2}^{+ \infty} \frac{\sin(x)}{x^\alpha} dx= [-cos(x) \times \frac{1}{x^\alpha}]_{\pi/2}^{+ \infty} - \int_{\pi/2}^{+ \infty} \alpha \frac{\cos(x)}{x^{\alpha+1}} dx$

$\quad\displaystyle [-cos(x) \times \frac{1}{x^\alpha}]_{\pi/2}^{+ \infty}$ converge ssi $\alpha>0$

Comment montrer que $\quad\displaystyle \int_{\pi/2}^{+ \infty} \alpha \frac{\cos(x)}{x^{\alpha+1}} dx$ converge?

Si j'encadre : $\quad\displaystyle \int_{\pi/2}^{+ \infty}-\frac{1}{x^{\alpha+1}} dx\leq \int_{\pi/2}^{+ \infty} \frac{\cos(x)}{x^{\alpha+1}} dx \leq \int_{\pi/2}^{+ \infty} \frac{1}{x^{\alpha+1}} dx$, je peux montrer que les deux intégrales encadrantes convergent ssi $\alpha > 0$ mais après?

pour $0 <\alpha \leq 1$, je ne vois pas comment minorer $\quad\displaystyle \int_{\pi/2}^{+ \infty} \frac{|\sin(x)|}{x^\alpha} dx$ par une série divergente.

$\quad\displaystyle \int_{-\pi/2 + n \pi}^{\pi/2 + n \pi} \frac{|\sin(x)|}{x^\alpha} dx=\int_{-\pi/2 }^{\pi/2 } \frac{|\sin(t+n \pi)|}{(t+n \pi)^\alpha} dt
$

$\frac{1}{(t+n \pi)^\alpha} \geq \frac{1}{(\pi/2+n \pi)^\alpha}$

$\frac{|\sin(t+n \pi)|}{(t+n \pi)^\alpha} \geq \frac{|\sin(t+n \pi)|}{(\pi/2+n \pi)^\alpha}$

$\quad\displaystyle \int_{-\pi/2 }^{\pi/2 } \frac{|\sin(t+n \pi)|}{(t+n \pi)^\alpha} dt \geq \int_{-\pi/2 }^{\pi/2 } \frac{|\sin(t+n \pi)|}{(\pi/2+n \pi)^\alpha} dt$

est-ce que c'est bien parti?