Puissance complexe de $-1$

L2M · August 2018

Bonjour,

Soient $z$ un nombre complexe et $f$ une fonction définie sur $-1\leq x<1$ (à valeurs dans $\mathbb C$) vérifiant l'équation fonctionnelle suivante $$x^zf(-x)=\left(\frac{x}{x+1}\right)^z f\left(\frac{x}{x+1}\right).$$
L'étape suivante est-elle sûre pour $0\leq x<1$
$$(-x)^zf(-x)=(-1)^z\left(\frac{x}{x+1}\right)^z f\left(\frac{x}{x+1}\right) ?$$
Avec $(-1)^z=e^{i\pi z}$
Si oui, On pourra donc écrire
$$g(-x)=(-1)^z g\left(\frac{x}{x+1}\right).$$
Avec $g(x)=x^zf(x)$

Merci.

GaBuZoMeu · August 2018

Qu'est-ce que $x^z$ ?

Dom · August 2018

Comment définir $x^z$ avec $z$ complexe ?

Rien que pour $z=0,5$ je m'interroge.

ev · August 2018

Et pour $z=i$ on pourra écrire

\[ e^{-\pi} = e^{i\pi z} = (-1)^z= e^{-i\pi z} = e^{\pi}. \]

Chic ! Vivement que ça arrive !

e.v.

L2M · August 2018

Si $x$ est positif strictement $x^z=e^{zln(x)}$

ev · August 2018

La question est : $-1$ est-il strictement positif les jours ouvrables ?

e.v.

GaBuZoMeu · August 2018

Et si $x$ n'est pas strictement positif ?

L2M · August 2018

A-t-on le droit d'adopter la définition suivante $(-1)^z=e^{i\pi z}$. Par exemple : $(-1)^{0.5}=e^{i\pi /2}=i$
J'ai trouvé des trucs sur http://www.wolframalpha.com/input/?source=frontpage-immediate-access&i=(-1)^i
Je les ai testé. Mais je trouve que ça génère des erreurs (dans la suite de l'équation fonctionnelle).

L2M · August 2018

Ok merci. Ne jamais écrire de puissance complexe à base négative sauf si l'exposant est un entier.

jean lismonde · August 2018

bonjour

tu pars de la relation eulérienne $- 1 = e^{i\pi(1 + 2k)}$

en élevant à la puissance d'exposant complexe $z = a + ib$
avec a et b réels quelconques et k entier relatif, il vient :

$(-1)^{a + ib} = e^{i(a+ib)(2k+1)\pi}$ soit encore :

$(-1)^z = e^{(-b + ia)(2k+1)\pi} = e^{-(2k+1)b\pi}[cos(2k+1)a\pi + isin(2k+1)a\pi]$

nombre complexe de module $e^{-(2k+1)b\pi}$ et d'argument $(2k+1)a\pi$

cordialement

ev · August 2018

C'est vrai pour tous les $ k \in \Z $ à la fois ?

e.v.

gerard0 · August 2018

Note à destination de L2M (*) :
JL a l'habitude de travailler formellement, sans s'interroger sur la pertinence (voire même la cohérence) de ses "calculs".
Par exemple ici, comme k a une infinité de valeurs possibles, si a est irrationnel, il donne en fait une çinfinité de "puissances".

Cordialement.

(*) et d'autres personnes qui ne connaissent pas jean Lismonde

Jean-Claude · August 2018

Soit $x\in U$ où $U$ est un ouvert simplement connexe de $\C^*$ contenant $[-1;1]\setminus\{0\}$.
On considère une détermination $\ln_k$ du logarithme complexe dans $U$
On pose par définition, pour tout $z\in \C$, et tout $x \in U$ : $\quad x^z:=e^{z \ln_k(x)}$.

Bien sûr la fonction $x^z$ dépend de la détermination du logarithme, mais peut-on faire mieux ?

GaBuZoMeu · August 2018

contenant [-1;1}/{0}.

Euh, qu'est-ce que ça veut dire ???
Ne suffit-il pas d'avoir un ouvert simplement connexe de $\mathbb C$ ne contenant pas l'origine pour pouvoir y définir une détermination du logarithme ?
(correction)

Jean-Claude · August 2018

Gabuzomeu a écrit:

Euh, qu'est-ce que ça veut dire ???

C'était pour me caler sur l'exercice du début, mais cela n'a pas d'intérêt, en effet. Mais pourquoi mets-tu 0 dans l'ouvert simplement connexe ? Ou alors, je n'ai pas tout compris.