Uniforme continuité

poli12 · August 2018

Bonjour
puis-je avoir une fonction $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$, $I$ et $J$ des parties de $\mathbb R$ telles que $f$ soit uniformément continue sur $I$ et $J$ mais pas sur $I \cup J$.

Poirot · August 2018

Non, il suffit d'écrire la définition de continuité uniforme.

poli12 · August 2018

f est uniformément continue sur $I$ si $\forall \epsilon >0, \exists \alpha>0 : \forall x,y \in I (|x-y|<\alpha \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$

Dom · August 2018

Ensuite écrire la définition pour $J$ (il est judicieux, pour la suite de ne pas reprendre la même lettre $\alpha$).

Puis, comment "recoller" les deux ?

gebrane · August 2018

Contre exemple prendre la fonction H de Heaviside H(x)=0 si x<0 et 1 si $x\geq 0$
H est clairement non continue uniformément sur la réunion

gebrane · August 2018

Si $I$ et $J$ sont deux intervalles d'intersection non vide alors peut être si f est c.u sur I et J alors f est c.u sur la réunion ( je n'ai pas réfléchi)

Kramer · August 2018

Ou au contraire si leurs adhérences sont d'intersection vide.

Cyrano · August 2018

Sauf erreur $\chi_{\Q} : \R \to \R$ est uniformément continue sur $\Q$, uniformément continue sur $\R \setminus \Q$ mais pas uniformément continue sur $\R$.

gebrane · August 2018

Poirot · August 2018

Mea culpa, je suis allé un peu vite sur ma démonstration !

poli12 · August 2018

Mea culpa veut dire?

gebrane · August 2018

Signification en image 78748

poli12 · August 2018

Je ne comprends pas ce que @poirot veut donc dire par là. Qu'il n'avait pas bien lu ma question ou quoi ?

Chaurien · August 2018

On en a (un peu) parlé ici :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1616130,1616248#msg-1616248
...un fil dans lequel j'ai écrit des bêtises.

Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb R$ et soit $f$ une fonction uniformément continue sur $I$ et sur $J$.
- Si $d(I,J)>0$, alors $f$ est uniformément continue sur $I \cup J$.
- Si $I\cap J$ est d'intérieur non vide, alors $f$ est uniformément continue sur $I \cup J$.

J'espère que ce ne sont pas encore des bêtises.
Bonne journée.
Fr. Ch.

gebrane · August 2018

@Chaurien
As-tu une démonstration pour ton 1)
1 - Si $d(I,J)>0$, alors $f$ est uniformément
continue sur $I \cup J$.

Pour ton 2, il suffit
2- Si $I\cap J$ est non vide, alors
$f$ est uniformément continue sur $I \cup J$.
La preuve est simple

Champ-Pot-Lion · August 2018

Et en général, quel est le critère ? Pour la seule continuité, un critère est $U \cup V = (U \cap V) \cup \operatorname{int}(U) \cup \operatorname{int}(V)$, avec l'intérieur pris relativement à la topologie induite sur $U \cup V$. Et pour la continuité uniforme, y a-t il un critère similaire ?

Chaurien · August 2018

@ Gebrane
Soit $\delta =d(I,J)>0$.
Soit $\varepsilon >0$.
Il existe $\alpha >0$ tel que $x\in I$ et $y\in I$ et $\left\vert x-y\right\vert \leq \alpha $ impliquent $\left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq \varepsilon $.
Il existe $\beta >0$ tel que $x\in J$ et $y\in J$ et $\left\vert x-y\right\vert \leq \beta $ impliquent $\left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq \varepsilon $.
On prend $\eta =\min (\alpha ,\beta ,\frac{\delta }{2})$. Si $x\in I\cup J$ et $y\in I\cup J$ et $\left\vert x-y\right\vert \leq \eta $, alors $x$ et $y$ sont tous deux éléments de $I$ ou bien tous deux éléments de $J$. Etc.

Bonne journée.
Fr. Ch.

gebrane · August 2018

@Chaurien
Parfait
Es-tu d'accord avec ma version de 2 ?

Chaurien · August 2018

@ Gebrane
À la réflexion, il me semble en effet que si $f$ est uniformément continue sur un intervalle $I$ et sur un intervalle $J$, et si $I\cap J$ est non vide, alors $f$ est uniformément continue sur $I \cup J$, même si $I\cap J$ se réduit à un point. Il faut le rédiger. J''espère que ce n'est pas une nouvelle bêtise.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

gebrane · August 2018

@Chaurien
Non ce n'est pas une bêtise, je reprends ta preuve
Soit $\varepsilon >0$.
Il existe $\alpha >0$ tel que $x\in I$ et $y\in I$
et $\left\vert x-y\right\vert \leq \alpha $
impliquent $\left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq
\varepsilon $.
Il existe $\beta >0$ tel que $x\in J$ et $y\in J$
et $\left\vert x-y\right\vert \leq \beta $
impliquent $\left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq
\varepsilon $.
On prend $\eta =\min (\alpha ,\beta )$. Si $x,y\in I\cup J$ et $\left\vert x-y\right\vert \leq \eta $, alors
- soit $x$ et $y$ sont tous deux éléments de $I$ ,donc ok
- soit $x$ et $y$ sont tous deux éléments de $J$ , donc ok
- soit $x\in I$ et $y\in J$; dans ce cas soit $a\in I\cap J$ de telle façon que $|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)-f(y)|\leq 2\epsilon$

Dom · August 2018

Sinon, il me semble que l'on faire, par exemple : $I = ]a;b]$, $J=[b;c[$.

On pose : $K=[b-\varepsilon;b+\varepsilon]$, en choisissant $\varepsilon$ convenablement.
La fonction est continue (sans préciser uniformément) sur $K$, puis utiliser le théorème de Heine sur $K$ (qui est compact) donc elle est continue uniformément sur $K$.

Puis on conclut avec $I\cup K$ puis avec $\left( I\cup K \right) \cup J$.

poli12 · August 2018

@Chaurien pourquoi pour ce $\eta$, $x$ ne peut pas être dans $I$ et $y$ dans J. Car dans ce cas il peut arrivé que $ I \cap J= \emptyset$
Je pense que la fonction de Heaviside illustre ce que je dis.
@gebrane je pense que $\bar{I}\cap\bar{J}=${$a$} et $f$ continue en a est suffisant pour montrer que f est uniformement continue sur $I \cap J$.

poli12 · August 2018

Bonjour puis je avoir une fonction $g$ définie sur une partie $A$ de $\mathbb R$ qui soit uniformément continue sur $A$ ne s'annule pas sur $A$ mais telle que $\frac{1}{g}$ n'est pas uniformément continue sur $A$.