Bijection continue de $\R$ dans $\R^2$

Mrocdemorgat · August 2018

Bonjour.

Par un argument de connexité, il est facile de montrer qu'il n'existe pas de bijection continue de $\R^2$ dans $\R$.

Dans l'autre sens, j'imagine qu'il n'existe pas de bijection continue de $\R$ vers $\R^2$, mais je n'arrive pas à le démontrer.

Auriez-vous des idées?

Merci d'avance.

Cyrano · August 2018

Bonjour
Une bijection continue entre espaces de Fréchet est forcément un homéomorphisme.

Donc une bijection continue $f:\R\to\R^2$ implique automatiquement que $f^{-1}:\R^2\to\R$ est continue ce qui est impossible, comme tu l'as prouvé..

[Pour la compréhension de la suite de la discussion, il est préférable de rayer plutôt que d'effacer. AD]

Champ-Pot-Lion · August 2018

Cyrano, tu aurais une preuve ? Je connais ça pour les bijections continues linéaires, mais c'est tout.

Voici une autre preuve. Soit $f : \R \to \R^2$ une bijection continue. Alors pour tout $N \in \N$, la restriction $f_N$ de $f$ à $[-N,N]$ est un homéomorphisme avec son image. Cette image est d'intérieur vide, car sinon cela donnerait un homéomorphisme entre une boule et un sous-espace du segment, ce qui est impossible par un argument de connexité. Par Baire, l'union des $f([-N,N])$ est d'intérieur vide.

gebrane · August 2018

Champ-Pot-Lion écrivait Cyrano, tu aurais une preuve ?

Voici une preuve qu'il n'existe pas d'injection continue de $\R²$ sur $\R$ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,359744,359907#msg-359907

Merci @cc pour la culture

Cyrano · August 2018

Champ-pot-lion : Tu as raison, ça fait trois fois que ça m'arrive. B-)
Comme quoi, faire des maths par cette chaleur n'est pas raisonnable, je vais m'absenter un petit mois !

lesmathspointclaires · September 2018

@CPL : Désolé si je bug mais pourquoi $f_N$ est-il un homéomorphisme? (bijection continue ne suffit pas en principe)

Poirot · September 2018

@lmpc : une bijection continue définie sur un compact est un homéomorphisme sur son image, car une telle application est fermée (un fermé de l’espace du départ est compact, donc son image est compacte donc fermée).