Espace réticulé

Ah je crois avoir trouvé finalement...

Il se trouve que la suite $(P_n(f))$ de $L$ que l'on a construite (comme dans Stone Weierstrass) et qui converge uniformément vers $|f|$ est croissante donc par convergence monotone on a:
$\lim_n \int_X P_n(f) dm = \int_X \lim_n P_n(f) dm$ de plus comme $\forall n \in \N,\ | \int_X P_n(f) | \leq \int_X |f| dm<+\infty$ on a bien $\|P_n(f) -|f|\|_1 \to 0$ et donc $|f|$ est dans $\overline{L}$.

Bonjour,
Je sollicite à nouveau votre aide pour la suite de l'exercice ci-dessus qui se décompose en plusieurs questions. Je précise que cet exercice traite du théorème de Daniell (approche fonctionnelle de la théorie de l'intégration) et l'objectif final de l'exercice est de démontrer que pour $1\leq p < +\infty$, $L^p(m)\otimes L^p(\mu)$ est dense dans $L^p(m\times \mu)$, résultat qui a lui-même des applications intéressantes.

Je poursuis donc avec les notations introduites ci-dessus (merci pour ceux qui auront le courage de lire)

Question a-bis) : en déduire que $\forall f \in \overline{L}, |f| \in \overline{L} $.
Ceci me semble clair car si $L$ est une algèbre alors $\overline{L}$ est aussi une algèbre et le même argument qui s'appliquait pour $L$ dans la question d'avant s'applique pour $\overline{L} $.

Question b) : Démontrer que $\overline{L}$ est dense dans $L^1(m)$.
D'après moi cette question est une conséquence directe de la question précédente et du théorème de Daniell (ou plutôt de son Corollaire) qui stipule que si on a un espace vectoriel $L$ de fonctions sur $X$, réticulé et tel qu'il existe une suite $(\phi_n)$ d'éléments de $L$ qui tend vers la fonction constante $1$ alors $L$ est dense dans $L^1(m)$ où $m$ est l'unique mesure telle que $L \subset L^1(m)$ et $\int f dm$ est une forme linéaire positive sur $L$ vérifiant certaines conditions naturelles.

Question c) : Démontrer que $L$ est dense dans $L^p(m)$ pour $1 \leq p < \infty$.
Indication : si $f \in L^p(m)$, on pourra démontrer que pour tout $n \in \N$, la fonction $g_n = \sup[ \inf(f, n \phi_n^+), -n \phi_n^+]$ est approchable dans $L^p(m)$ par une suite de $\overline{L}$. Edit : $(\phi_n)$ est la suite croissante d'éléments de $L$ de l'énoncé qui converge $m$-presque partout vers la fonction 1.

Celle-ci me donne du fil à retordre. Mon idée de preuve a trois étapes.
D'abord, la suite $(g_n)$ est croissante, tend $m$-presque partout vers $f$ et pour tout $n \in \N$, on a $|g_n|<|f| \in L^p$ donc par convergence $L^p(m)$-dominée, si on fixe $\varepsilon >0$, on voit qu'à partir d'un certain rang $n>N$, on a $\|f-g_n\|_{L^p} \leq \varepsilon$ (1).
Ensuite, si on suppose comme l'indication de l'énoncé qu'on soit parvenu à approcher dans $L^p$, la fonction $g_n$ par une suite $(\psi_k)$ de $\overline{L}$, alors on aura à partir d'un certain rang $k>K$, $\|g_n-\psi_k\|_{L^p} \leq \varepsilon$ (2).
Enfin comme $L$ est dense dans $\overline{L}$ pour la norme $\|\,\|_{1}+\|\,\|_{\infty}$ mais que $\forall f \in L^1(m)\cap L^{\infty}(m)\,$ on a l'inégalité: $\displaystyle \|f\|_{p}\leq \|f\|_1^{\frac{1}{p}} \|f\|_{\infty}^{\frac{1}{p'}}$. Ceci implique que $L$ est également dense dans $\overline{L}$ pour la norme $\|\,\|_{p}$ et qu'on peut trouver une suite $(\varphi_m)$ de $L$ telle qu'à partir d'un certain rang $m>M$ , $\|\psi_k-\varphi_m\|_{L^p} \leq \varepsilon$
Par (1),(2), et(3), et par inégalité triangulaire on a une suite $(\varphi_m)$ de $L$ telle qu'à partir d'un certain rang $m>M$ , $\|f-\varphi_m\|_{L^p} \leq 3\varepsilon$ d'où le résultat.

Là où je bloque c'est comment démontrer le résultat de l'indication de la question c)...

Merci

Passons à l'énoncé de la dernière question d: si $m$ et $\mu$ sont des mesures $\sigma$-finies sur des espaces mesurables $(X,\mathcal{F})$ et $(Y,\mathcal{G})$, et soit $p \in [1,\infty[$. On note $L^p(m)\otimes L^p(\mu)$ le sous-espace vectoriel de $L^p(m\times \mu)$ engendré par les fonctions: $(x,y) \to f(x)g(y)$ avec $f \in L^p(m)$ et $g \in L^p(\mu)$. Démontrer que $L^p(m)\otimes L^p(\mu)$ est dense dans $L^p(m\times \mu)$.

Indication: Appliquer le résultat de la question précédente à la mesure $m \times \mu$ et à l'espace $L=(\mathcal{L}^1(m)\cap \mathcal{L}^{\infty}(m)) \otimes (\mathcal{L}^1(\mu)\cap \mathcal{L}^{\infty}(\mu))$.

On remarque que l'espace $L$ ci-dessus est un sous-espace vectoriel de $L^p(m)\otimes L^p(\mu)$ qui est lui-même un sous-espace vectoriel de $L^p(m\times \mu)$ donc il suffit de montrer que $L$ est dense dans $L^p(m\times \mu)$ pour avoir le résultat.

D'après la question précédente, $L$ est dense dans $L^p(m\times \mu)$ dès lors que l'on aura vérifié toutes les hypothèses pour $L$ à savoir :
d.1- $L$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}^1(m\times \mu)\cap \mathcal{L}^{\infty}(m\times \mu)$,
d.2- il existe une suite croissante $(\phi_n)$ de $L$ qui converge vers $1$ $(m\times \mu)$-presque partout,
d.3- la tribu $\sigma(L)$ engendrée par $L$ est égale à $\mathcal{F}\times \mathcal{G}$,
d.4- $\forall f \in L, f^2 \in L$.

Une fonction $h \in L$ s'écrit :$h: (x,y) \to \sum_{i=1}^N f_i(x)g_i(y)$ avec $f_i \in (\mathcal{L}^1(m)\cap \mathcal{L}^{\infty}(m))$ et $g_i \in (\mathcal{L}^1(\mu)\cap \mathcal{L}^{\infty}(\mu))$.

Le point d.1 est donc une conséquence direct du théorème de Fubini.
Le point d.2 résulte du fait que $C_c(X,Y) \subset L$ et qu'il existe une suite $(\phi_n)$ de fonctions de $C_c(X,Y)$ qui converge partout vers 1.
Le point d.4 résulte d'un calcul direct et du fait que $L^1$ et $L^{\infty}$ sont des algèbres de fonctions.

Pour le point d.3, $L$ est un sous-espace vectoriel des fonctions $\mathcal{F \times G}$-mesurables de $X\times Y$ vers $\R$ donc $\sigma(L) \subset \mathcal{F \times G}$. Pour l'inclusion inverse je pense qu'on peut utiliser le fait que les parties $A\times B \in \mathcal{F \times G}$ de mesure finie engendrent $\mathcal{F \times G}$ et que les fonctions indicatrices de tels ensembles sont dans $L$.

Cela conclu l'exercice.

Je suis preneur de toute remarque! Je trouve que cet exercice montre toute la force du théorème de Daniell (qui me semble assez méconnu).

Et j'en profite pour demander aux membres du forum s'ils connaissent d'autres méthodes pour montrer la densité de $L^p(m)\otimes L^p(\mu)$ dans $L^p(m \times \mu)$.