Une série n'est pas qu'une suite

En fait il y a plusieurs notions différentes qu'on utilise souvent à tort et à travers quand on fait des maths à l'oral.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite (disons, de nombres réels ou complexes, puisqu'on commence par ça quand on découvre).

La "série de terme général $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$" désigne un objet qui se note $\displaystyle \sum u_n$ sans indexer le symbole somme. A ce stade, il ne s'agit que d'un objet formel.

Pour indexer le symbole somme, c'est-à-dire pour faire "la somme des $u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$", il faut d'abord vérifier que la somme de tous les termes de la suite est effectivement un nombre. Donc il faut se donner un procédé pour vérifier ça.

On définit donc une suite, celle des "sommes partielles de la série de terme général $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$". Cette suite $(S_N)_{N \in \mathbb{N}}$ est définie par : pour tout $N \in \mathbb{N}$, $S_N = \displaystyle \sum_{n=0}^N u_n$.

Si cette suite converge vers un nombre $l$, on dit que la "série de terme général $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$" est convergente et on note donc $\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} u_n = \sum_{n =0}^{\infty} u_n = l$ le nombre qu'on appelle "somme de la série de terme général $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$". On a donc vérifié que ça existe avant d'écrire un objet qui n'existe pas.

Ce qu'on doit justifier c'est l'égalité : $\displaystyle \sum_{n =0}^{\infty} u_n = \lim_{N \longrightarrow \infty} \sum_{n=0}^N u_n$ dont le membre de droite n'est autre que $\displaystyle \lim_{N \longrightarrow \infty} S_N$, la limite de la suite des sommes partielles (si elle existe, justement).

Quant au $R_n$, c'est le "reste d'ordre $n$ de la série". Quand la série est convergente, on peut "tronquer" la série (donc on enlève les premiers termes de la somme) et comme on enlève une somme finie (donc un nombre) à un nombre (parce que la série est convergente, la somme infinie est un nombre) ça redonne un nombre et on n'a rien écrit d'injustifié. $R_n$ est parfois aussi appelé la "queue" de la série".

EDIT : j'ai fait commencer toutes mes sommes à $n=0$. C'est juste une convention utilisée dans les cours dans les bouquins, en vrai si la suite est définie à partir d'un entier $n_0$, il faut commencer à sommer à partir de $n_0$. Mais en fait ça ne change rien : à partir d'une suite $(u_n)_{n \geqslant n_0}$ il suffit de définir une "suite translatée" $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par $v_n = u_{n+ n_0}$ qui sera elle définie à partir de $0$. Les séries de terme général $(u_n)$ et $(v_n)$ (sommées donc respectivement à partir de $n_0$ et $0$) seront de même nature (soit divergentes toutes les deux, soit convergentes toutes les deux et dans ce cas, elles ont la même somme), essaie de t'en convaincre.

Theoreme: si $\sum_{n=0}^{\infty}|u_n|=\infty$et si $\sum_{n=0}^{\infty}u_n$ converge, alors pour tout $s$ reel il existe une bijection $\sigma$ de $\mathbb{N}$ telle que $\sum_{n=0}^{\infty}u_{\sigma(n)}$ converge et a pour somme $s.$ Il y a une generalisation tres interessante quand $u_n$ est a valeurs dans $\mathbb{R}^d$, le cas des $u_n$ complexes (cad $d=2$) etant du a Paul Levy.

Pour la définition de $R(n)$. (R comme reste)




Soit $N$ un entier naturel et on considère la série convergente de terme général $u_n$,
$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} u_n&=\sum_{n=0}^N u_n+\sum_{n=N+1}^{\infty} u_n\\
&=\sum_{n=0}^Nu_n+R(N)\\
\end{align}$

Qu'on peut réécrire:

$\begin{align}R(N)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n-\sum_{n=0}^N u_n\end{align}$

Il est clair que puisque la série de terme général $u_n$ est convergente, $R(N)$ tend vers $0$ quand $N$ augmente indéfiniment.

Dans certains ouvrages on précise : (ici extrait de Analyse MP, Monier, 5e édition DUNOD)

On appelle série à termes dans $E$ tout couple $\left( (u_n)_{n \in \mathbb N},(S_n)_{n \in \mathbb N} \right)$ formé d'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ à termes dans $E$ et de la suite $(S_n)_{n \in \mathbb N}$ définie par :

$$\displaystyle \forall n \in \mathbb N, \qquad S_n = \sum_{k=0}^n u_k$$.

P. a écrit:

Il y a une generalisation tres interessante quand $u_n$ est a valeurs dans $\mathbb{R}^d$, le cas des $u_n$ complexes (cad $d=2$) etant du a Paul Levy.

Je crois la généralisation pour $d$ quelconque est attribuée à Steinitz.

Bonsoir,

Attention à ce que tu dis :
a) "la série converge si l'un de ses termes tend vers 0" :
cette phrase est bizarre : un des termes est un nombre fixé, donc l'expression "un [...] terme tend vers 0" n'a pas de sens.

b) "ou c'est seulement le n-ème terme"
c'est tout aussi bizarre.

Le théorème est : si la série de terme général $u_n$ converge, alors la suite $(u_n)_n$ converge vers $0$.

c) La démonstration est juste : notons $(S_n)_n$ la suite des sommes partielles.
i)
Si $(S_n)_{n \in \mathbb N}$ converge vers $S$, alors la suite $(S_{n-1})_{n \in \mathbb N^\star}$ converge vers $S$ (pourquoi ?).
ii)
Ainsi, la suite $(S_n -S_{n-1})_{n \in \mathbb N^\star}$ converge vers $S-S$ (pourquoi ?).
iii)
Remarque : la suite $(S_n -S_{n-1})_{n \in \mathbb N^\star}$ est la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N^\star}$ (pourquoi ?)
Ainsi, on vient de démontrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N^\star}$ converge vers $0$.
iv)
Et donc la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ converge vers $0$.

C'est très pompeux, mais sauf erreur, il s'agit de tous les détails de cette preuve.

Remarque très personnelle :
Dans le cas restrictif où la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ est à termes positifs, je n'aime pas beaucoup cette méthode pour démontrer ce théorème même si elle est très efficace et propre.
Je préfère la preuve plus longue par contraposée. C'est un peu plus technique, mais j'ai l'impression que l'on voit mieux ce que l'on fait.

Cela fait irrésistiblement penser à la polémique à propos des fonctions :-)
Bourbaki :
Une fonction est un triplet : graphe fonctionnel, ensemble de départ, ensemble d'arrivée.
Une série est un couple : suite de termes, suite des sommes partielles de ces termes.

Temps modernes :
Une fonction est un graphe fonctionnel, et un graphe fonctionnel est une fonction.
Une série est une suite, et une suite est une série.