Fonction

etanche
etanche
dans Analyse
Bonjour

Soit f une fonction de R dans R , a>0 fixé montrer qu'il existe x et y

avec x différent de y et |f(x)-f(y)|<a

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Et si $D_f=\{1,2\}$ avec $f(1)=1$ et $f(2)=2$?
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Je ne sais pas si le message original a été changé, mais il est dit : « de $R$ dans $R$ ».
  • etanche
    etanche
    @gebrane f est une fonction de R dans R :-)
  • Dom
    Dom
    Bon, commençons par noter $F$ l'ensemble image de $f$.

    $F=\{y \in \mathbf R, \exists x \in \mathbf R, y=f(x)\}$ que l'on écrit parfois plus simplement $F=\{f(x), x \in \mathbf R \}$

    Est-ce utile ensuite de distinguer des cas ?
  • gebrane
    gebrane
    Ce que j'ai donné est une fontion mais n'est pas une application, moi je fais distinction entre fonction et application peut etre contre une majorité
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    @gebrane : inutile de jouer au plus malin, tu sais pertinemment que ce n'est pas la question.
  • Dom
    Dom
    On va aller loin je pense...
  • P.
    P.
    Supposons que ce soit faux. Soit $I=f(\R),$ alors pour tous $u\neq v$ dans $I$ on a $|u-v|>a$. Donc $I$ est denombrable, et comme $\R$ ne l'est pas, la fonction n'est pas injective, contradiction.
  • PierreB
    PierreB
    On a juste besoin que $D_f$ soit indénombrable.

    Puisque $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, pour $a>0$ fixé, on recouvre alors $\mathbb{R}$ (vu comme contenant l'ensemble des images par $f$) par des intervalles $]r- \dfrac a 2 ; r + \dfrac a 2[$, où $r$ décrit $\mathbb{Q}$.

    Puisqu'il n'y a qu'un nombre dénombrable de tels intervalles, il existe des réels $x$ et $y$ distincts tels que $f(x)$ et $f(y)$ sont dans un même de ces intervalles.

    Pierre.
  • PierreB
    PierreB
    Arf...grillé par P.

    Pierre.
  • uvdose
    uvdose
    @PierreB
    Ici la densité de $\Q$ dans $\R$ n'est pas vraiment utile. L'application $x\mapsto\left\lfloor\frac{f(x)}{a}\right\rfloor$ qui va de $\R$ dans $\Z$ ne peut pas être injective. Deux réels distincts $x$ et $y$ ont donc la même image : ils sont tels que $|f(x)-f(y)|<a$.
  • PierreB
    PierreB
    Oui, et d'ailleurs, je trouve même ça plus élégant.

    Pierre.
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