Dérivabilité sans valeur absolue

Phare · August 2018

Bonjour à tous

Voilà un petit exo d'énoncé simple mais de solution pas trop évidente.

Soit f une fonction réelle continue,
Montrer que si |f| est dérivable alors f est dérivable.

Je pense pas l'avoir déja vu...

paf · August 2018

Bonjour,

Pour commencer, si $a\in\mathbb R$ est tel que $f(a)\neq 0$, que peux-tu dire du signe de $f$ (et donc des valeurs de $|f|$) au voisinage de $a$ ?

Phare · August 2018

Merci Paf pour ta réponse, mais j'ai déjà la solution à cet exo.

Je voulais juste le proposer au forum, récolter des avis, des démonstrations etc.
..

gebrane · August 2018

L'exercice est bien connu mais le cas générale je ne sais pas et je n'y ai pas réfléchi.

Soit E, F 2 e.v.n et $f:E\to F$ continue telle que $x\to ||f(x)||_F$ est Fréchet différentiable sur E, A -t-on $x\to f(x)$ Fréchet différentiable sur E ?

Phare · August 2018

Ah bon !
Je croyais pourtant connaitre la plus part des exos d'analyse réelle, d'où le désinterêt des forumeurs ?

Je trouve quand même que c'est un bon exercice8-)

gebrane · August 2018

As-tu une idée pour résoudre le problème dans le cadre des espaces v.n?
c'est bien connu le cadre réel
https://math.stackexchange.com/questions/266378/if-fx-is-a-differentiable-function-then-fx-is-also
https://math.stackexchange.com/questions/1989217/prove-if-f-is-differentiable-at-a-and-f-is-continuous-at-a-then-f-is
https://math.stackexchange.com/questions/1713322/prove-that-if-f-is-differentiable-at-a-and-f-is-continuous-at-a-then

Phare · August 2018

Ah oui
J'avais trouvé une solution plus complexe, je m'étais alors imaginé que c'était un exo compliqué mais effectivement c'est assez trivial vu ces solutions.

Je vais réflechir pour le cas général
Merci Gebrane

Phare · August 2018

Le théorème est faux de la droite réelle vers le plan.

Suffit de prendre une courbe non dérivable en un point et la renormaliser de manière à avoir une norme constante .

Ou juste plus simple parcourir un arc de cercle dans une direction puis revinir dans l'autre direction. C'est une courbe de norme constante mais non dérivable.

Dérivabilité sans valeur absolue

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