L'exercice est bien connu mais le cas générale je ne sais pas et je n'y ai pas réfléchi.
Soit E, F 2 e.v.n et $f:E\to F$ continue telle que $x\to ||f(x)||_F$ est Fréchet différentiable sur E, A -t-on $x\to f(x)$ Fréchet différentiable sur E ?
Ah oui
J'avais trouvé une solution plus complexe, je m'étais alors imaginé que c'était un exo compliqué mais effectivement c'est assez trivial vu ces solutions.
Je vais réflechir pour le cas général
Merci Gebrane
Le théorème est faux de la droite réelle vers le plan.
Suffit de prendre une courbe non dérivable en un point et la renormaliser de manière à avoir une norme constante .
Ou juste plus simple parcourir un arc de cercle dans une direction puis revinir dans l'autre direction. C'est une courbe de norme constante mais non dérivable.
Réponses
Pour commencer, si $a\in\mathbb R$ est tel que $f(a)\neq 0$, que peux-tu dire du signe de $f$ (et donc des valeurs de $|f|$) au voisinage de $a$ ?
Je voulais juste le proposer au forum, récolter des avis, des démonstrations etc.
..
Je croyais pourtant connaitre la plus part des exos d'analyse réelle, d'où le désinterêt des forumeurs ?
Je trouve quand même que c'est un bon exercice8-)
c'est bien connu le cadre réel
https://math.stackexchange.com/questions/266378/if-fx-is-a-differentiable-function-then-fx-is-also
https://math.stackexchange.com/questions/1989217/prove-if-f-is-differentiable-at-a-and-f-is-continuous-at-a-then-f-is
https://math.stackexchange.com/questions/1713322/prove-that-if-f-is-differentiable-at-a-and-f-is-continuous-at-a-then
J'avais trouvé une solution plus complexe, je m'étais alors imaginé que c'était un exo compliqué mais effectivement c'est assez trivial vu ces solutions.
Je vais réflechir pour le cas général
Merci Gebrane
Suffit de prendre une courbe non dérivable en un point et la renormaliser de manière à avoir une norme constante .
Ou juste plus simple parcourir un arc de cercle dans une direction puis revinir dans l'autre direction. C'est une courbe de norme constante mais non dérivable.