Contrexemples, cas pathologiques

Homo Topi
Homo Topi
dans Analyse
Un truc que je me dis souvent, c'est que pour bien comprendre une définition, il faut avoir vu un exemple et un contrexemple (d'ailleurs il y a des livres entiers de contrexemples en mathématiques, je devrais en acheter un...). Et ça vaut aussi pour les théorèmes, pour voir pourquoi les hypothèses sont essentielles... ou quand le théorème est une implication sans réciproque, ça permet de voir pourquoi il n'y a pas de réciproque.

Il y a alors par exemple des fonctions continues partout mais dérivables nulle part.

Je partage l'article Wikipédia pare qu'il regroupe plusieurs exemples (que je retravaillerai quand j'aurai le temps). Dans la même veine, je me demandais s'il y avait d'autres cas pathologiques qui n'ont pas leur propre page Wikipédia...

Par exemple, existe-t-il :

1) Des fonctions continues sur $\mathbb{R}$, de dérivée presque partout nulle, mais croissante sur $\mathbb{R}$ ?
Si oui : 1') idem mais strictement croissantes ?

2) Des fonctions croissantes sur $\mathbb{R}$ mais continues nulle part ?
Si oui : 2') idem mais strictement croissantes ?

3) Des fonctions dérivables sur tout $\mathbb{R}$ mais dont la dérivée n'est continue nulle part ? (je lance une idée : primitive d'une fonction continue nulle part dérivable qui est intégrable sur $\mathbb{R}$ ?)

Si quelqu'un en connaît (ou peut montrer que ça n'existe pas), merci de partager :-D

Réponses

  • Kramer
    Kramer
    1) une fonction définie sur $\mathbb R$ dont la dérivée existe partout et est nulle est constante.

    2) Non. L'ensemble des points de discontinuité d'une foncrion monotone sur $\mathbb R$ est au plus dénombrable.

    3) Non.
  • gebrane
    gebrane
    Ma contribution
    Pour le 1) je propose la fonction nulle
    le 1)' est faux car une constante n'est jamais croissante au sens stricte
    Le 😄 Farceur


  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    1) Tu voulais dire "presque partout" ? Si oui, il y a l'escalier de Cantor (strictement croissant, continu, de dérivée presque partout nulle).

    2) Non : un point de non-continuité à droite est un point tel que la fonction "saute" d'une quantité strictement positive. Pareil à gauche. Mais il ne peut y avoir qu'un nombre dénombrable de tels sauts en temps fini, car la somme d'un nombre indénombrable de réels strictement positifs est infinie.

    3) Non, là on peut passer par le théorème de limite simple de Baire.
  • gebrane
    gebrane
    4) Existe-t-il une fonction discontinue en tout point de $\R^*$
    mais dérivable au point 0 ?

    5) Existe-t-il une fonction f de classe $C^\infty$ dont le développement de Taylor-Maclaurin converge, mais pas vers f ?
    Le 😄 Farceur


  • Tryss
    Tryss
    Pour le 1) et 1'), le théorème des accroissements finis donne la solution

    Le 2) n'est pas possible, une fonction croissante ne peut être discontinue qu'en un nombre dénombrable de points.

    Le 3) n'est pas possible, l'ensemble des points de discontinuité d'une dérivée est maigre (c'est une conséquence de Baire)

    Edit :

    Le 4) de Gebrane :

    Prendre la fonction $f$ définie par $f(x) = 0$ si $x$ est irrationnel (ou nul), et $f(\frac{a}{b}) = \frac{1}{b^2}$ ($\frac{a}{b}$ étant une fraction irréductible)

    Alors $\frac{f(h)-f(0)}{h} = 0$ si $h$ est irrationnel, et égal à $\frac{1}{ab}$, qui tend bien vers 0, si $h= \frac{a}{b}$
  • Kramer
    Kramer
    4) $x \mapsto x^2 1_{\mathbb Q}(x)$

    5) $x \mapsto \exp(-\frac1x)$ si $x>0$ et $0$ sinon.

    Classico-classique.
  • gebrane
    gebrane
    6) Existe-t-il une fonction discontinue en tout point de $\R$ / $\Z$ mais dérivable en tout point de $\Z$ ?
    Le 😄 Farceur


  • Homo Topi
    Homo Topi
    Champ-Pot-Lion a raison, je voulais dire presque partout. Je vais rectifier ça.

    Sinon merci pour vos réponses et problèmes additionnels :-)

    Pour le 1), je m'avais trompu dans l'énoncé. J'avais effectivement déjà vu l'escalier de Cantor, je n'y avais juste pas pensé.
    Pour le 2), j'avais déjà vu ce résultat, mais oublié.
    Pour le 3), je viens de découvrir un théorème que je ne connaissais pas.
    Pour le 4), je vais essayer d'oublier les réponses déjà proposées et en chercher une tout seul

    le 5) et 6) m'inspirent moins... pour le moment.

    Il faudrait vraiment que j'aille dormir, moi.

    .
    .
    .

    Et que j'arrête de bouder l'analyse réelle. C'est quelque chose que je n'aime pas beaucoup alors je ne le travaille pas assez. Paaaaas bieeeeennnnnnnn
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Si tu veux une preuve de pourquoi les séries de Hardy sont continues nulle part dérivables, tu en trouveras une ci-jointe (mais nécessite des prérequis en analyse de Fourier car traite plus généralement le cas des séries lacunaires à la Hadamard).
    L'exercice amusant associé est de montrer qu'il existe des fonctions aussi "régulières" que l'on veut -disons $\alpha$-holdériennes pour tout $0<\alpha<1$- mais qui sont tout de même dérivables en aucun point! Ceci contraste grandement avec le théorème de Rademacher qui stipule qu'une fonction lipschitzienne est différentiable en (Lebesgue) presque tout point.
  • Kramer
    Kramer
    @gebrane: il suffit de remlacer $x^2$ par $\sin^2(\pi x)$ dans le 5) ci-dessus.
  • gebrane
    gebrane
    Puis-je voir ta preuve?
    Le 😄 Farceur


  • mojojojo
    mojojojo
    Pour ton 1' bis (tu as modifié les questions de ton premier message si je ne dis pas de bêtises) tu as la fonction point interrogation de Minkowski (aussi appelée slippery devil's staircase par les anglais). De façon plus générale il "suffit" d'intégrer une mesure étrangère à la mesure de Lebesgue, totalement diffuse et qui charge tous les ouverts pour obtenir une fonction de ce type.

    Pour ton 3 tu as déjà eu la réponse mais il faut cependant savoir qu'une fonction dérivée peut être fortement discontinue. Par exemple l'ensemble de ses points de discontinuité peut être de mesure strictement positive sur chaque intervalle ouvert. Il existe donc des fonctions dérivées qui ne sont Riemann intégrable sur aucun intervalle (non réduit à un point).
  • Kramer
    Kramer
    @gebrane: tu parles du 6)?
    La discontinuité loins des zéros du sinus est évidente, pour la dérivabilité il suffit de passer par les taux d'accroissement (et de savoir faire un développement limité du sinus).
  • 20-sided-dice
    20-sided-dice
    @Tryss @Kramer

    je dis peut-être une bêtise mais il me semble que vos fonctions 4) sont continues en toute valeur irrationnelle non ?
  • Tryss
    Tryss
    Dans mon cas, oui, je me suis planté, elle est continue en tout irrationnel (c'est plutôt un exemple sympa de fonction continue partout sauf sur $\R\backslash \Q^*$).

    Par contre, la proposition de Kramer marche bien : pour $x$ irrationnel, alors quelque soit $\eta > 0$, il existe un rationnel $q$ dans $[x-\eta, x+\eta]$ tel que $|f(x) - f(q)|= f(q) \geq \frac{x^2}{2}$, ce qui contredit la continuité
  • 20-sided-dice
    20-sided-dice
    Ah oui au temps pour moi. Dans ma tête je pensais que x était 1/b comme dans ta proposition. :-D

    Et oui cet exemple est assez marrant. Il faut croire qu'on voit pas souvent au lycée une fonction continue uniquement sur un ensemble dense dans R ^^
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