Continuité

Bonsoir à tous,
On travaille sur un espace mesurable muni d'une mesure $m$.
Je veux monter que la fonction suivante [est] continue $$F(f) =\sum_{k=0}^{\infty} \big|\langle f , \varphi_k \rangle_{H^1(m)}^2\big|^2,$$ avec $f$ et $\varphi_k \in H^2(m)$.

J'ai calculé la différence entre $F(f) -F(f_0)$, mais après je ne vois pas comment continuer $$
F(f) -F(f_0)=\sum_{k=0}^{\infty} \big|\big(\langle f , \varphi_k \rangle_{H^1(m)} - \langle f_0 , \varphi_k \rangle_{H^1(m}\big)\big(\langle f , \varphi_k \rangle_{H^1(m)} + \langle f_0 , \varphi_k \rangle_{H^1(m)}\big)\big|.
$$ Quelqu'un pourrait m'aider svp