Exercice de révision filière ECE
dans Analyse
Bonsoir à tous,
j'étais en train de faire quelques exercices de révision sur le chapitre des limites et j'aimerais bien que quelqu'un jette un petit coup d’œil, s'il vous plaît. J'aimerais savoir s'il y a des choses à rectifier. ( je n'ai pas les corrigés des énoncés c'est pour cela). Et aussi parce que j'ai quelques petits doutes, concernant certaines questions, dont notamment la question 1)C) et 1)e)
Vous trouverez mon travail en pièce-jointe.
Je vous remercie d'avance,
Bonne soirée.
j'étais en train de faire quelques exercices de révision sur le chapitre des limites et j'aimerais bien que quelqu'un jette un petit coup d’œil, s'il vous plaît. J'aimerais savoir s'il y a des choses à rectifier. ( je n'ai pas les corrigés des énoncés c'est pour cela). Et aussi parce que j'ai quelques petits doutes, concernant certaines questions, dont notamment la question 1)C) et 1)e)
Vous trouverez mon travail en pièce-jointe.
Je vous remercie d'avance,
Bonne soirée.
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Réponses
Je n'ai rien à redire pour les a) et b).
Pour le c), quel théorème utilises-tu au sujet des équivalents ?
(Je n'ai pas regardé le reste)
merci pour votre réponse ! D'accord pour la a) et la b) ;-) et pour la c) je n'ai pas vraiment utilisé de théorème enfin quoique...je me suis dit que
$\lim_{x \to +\infty}\ln(x) = +\infty.$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(2+1/x) = \ln(2)$ par composition. Et après je me suis dit que mon $\ln(x)$ l'emporte sur mon $\ln(2+1/x)$. D'où l'équivalence dans mon exercice...Mais c'est bon s'il vous plaît ?
Et quelqu'un voudrait bien aussi jeter un petit coup d'oeil sur les autres question s'il vous plaît ?
Le c) ne contient pas d'erreur.
Disons, que j'ai été étonné par ce recours aux équivalents.
Tu as bien fait le travail, et je vais essayer de m'en passer avec tes calculs.
Je m'autorise des enchaînements d’égalités en une ligne.
Pour tout $x$ assez grand, on a :
$\dfrac{\ln(2x+1)}{x-1}=\dfrac{\ln(x)+\ln \left( 2+\dfrac{1}{x} \right) }{x-1} = \dfrac{\ln(x)}{x-1}+\dfrac{\ln \left( 2+\dfrac{1}{x} \right)}{x-1}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}} \dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{\ln \left( 2+\dfrac{1}{x} \right)}{x-1}$
Ce sont vraiment tes calculs et cela suffit pour conclure que la limite cherchée est bien $0$.
Remarque : attention à tes traits de fraction, cela fait mauvais genre pour la majorité des correcteurs même s'ils seront contents car tes copies sont claires et propres.
Le d) me va très bien.
Le e) contient une belle étourderie (dernière ligne de la page 3).
A plus tard pour la suite.
Je vais essayé de relire mes exercices et je reviens ;-)
Deux remarques au sujet du h) :
- Une erreur tout de même, c'est plutôt $\forall x \in \mathbb R_+^\star$ car avec les nombres négatifs, des puissances sont mal définies.
Edit : la valeur $1$ doit être exclue car cela annule le dénominateur.
[small]Bon, parfois on écrit "pour $x$ assez grand", et je ne sais pas si c'est très conseillé d'ailleurs.
On pourrait écrire, puisqu'on est en train de regarder un voisinage de l'infini : "Pour tout $x>2$", je crois que c'est acceptable et surtout bien suffisant dans ce contexte.[/small]
- On peut, là encore, se passer des équivalents : ici tu donnes deux fonctions équivalentes puis tu composes par l'exponentielle. Est-ce un théorème du cours ?
Pour la h) oui, j'ai utilisé un résultat du cours. J'ai utilisé une équivalence pour revenir à $\ln(x)/x$ . ( C'est une croissance comparée de mon cours) Mais je me rends compte que j'aurais pu m'en passer et écrire directement que $\lim_{x \to +\infty}\ln(x+1)/x=0$
Et sinon vous avez raison, j'aurais dû écrire $\forall x \in \mathbb R_+^\star$ privé de 1 au lieu de $\forall x \in \mathbb R$ car je travaille ici avec des $\ln$
édit: Et non il n'y a pas de $f$ et de $g$ car ce sont des limites que je ne peux pas calculer, elles comportent des " sin" et des " cos" et c'est hors-programme dans ma filière, ..;-)
J'ai dit au cours de cet exercice que :
$\forall x \in \mathbb R_+^\star, \ln (x+1)/ \ln(x)= 1+\ln(1+\frac 1 {x} ) -\ln(x)$ J'ai détaillé les calculs plus haut,et j'ai utilisé au cours de cette dernière étape de la page 3 une formule de mon cours, qui est la suivante $\ln \frac a{b}=\ln(a)-\ln(b)$
Du coup, je me disais.. Que dois-je donc corriger s'il vous plaît ?
Si je lis bien, tu écris (j'enlève la terme $1$) que :
Pour tout $x$ positif : $\dfrac{\ln(1+\frac 1 {x} )}{\ln(x)}=\ln(1+\frac 1 {x} ) -\ln(x) \qquad$ (Attention lecteurs, ceci est faux !)
Ce qui n'est pas tout à fait l'application de ta propriété (formule).
Remarque : ici, il faut d'ailleurs interdire la valeur $x=1$ car cela annule le dénominateur mais ce n'est pas l'erreur que je veux pointer.
J'ai ajouté un "édit" sous la forme d'un paragraphe en rouge, un peu plus haut, à ce sujet.
*Mon Dieu, en espagnol.
Bon sinon, j'ai encore fait des exercices, cette fois-ci c'est sur les limites en $0$, et demain je ferai les limites en -$\infty$.
Quelqu'un voudrait bien jeter un petit coup d'oeil et m'aider à progresser s'il vous plaît ? Par ailleurs, attention,dans la question 2)b) $\lim_{x \to \0} x=0$et non $x$ c'est une petite étourderie de ma part, que je viens de détecter.
Vous trouverez mon travail, dans la nouvelle pièce-jointe ( ci-dessous).
Je vous remercie d'avance,
Belle soirée à tous.
Une remarque : les deux limites b) et c) peuvent être vues comme des limites de taux d'accroissement.
Autrement dit, ce sont des nombres dérivés.
Il suffit de trouver, dans chacun des cas, une fonction $f$ dérivable en $0$ telle que la limite cherchée (en $0$) soit la limite de $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ et alors, la réponse est, par définition, $f'(0)$.
D'ailleurs, c'est comme cela que l'on peut démontrer que $\dfrac{\ln (x+1)}{x}$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$.
Autrement dit, en $0$, $\ln (x+1) \sim x$. Résultat que tu utilises dans le a).
À ce propos, puisque cette limite est $1$ tu as directement que la limite cherchée (dans le a)) est $e^1$, soit $e$, ta réponse.
Autre remarque : puisque $\dfrac{\ln (x+1)}{x}$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$, (c'est certainement un résultat de cours), alors on peut rapidement trouver le b).
Pour $x$ non nul, $\dfrac{\ln (x^2+1)}{x}=x \dfrac{\ln (x^2+1)}{x^2}$ dont le quotient tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$.
merci pour votre réponse aussi détaillée, c'est très aimable de votre part ! Et c'est vrai que j'avais pensé aux taux d'accroissements mais après je me suis dit, autant utiliser les résultats du cours, lorsque j'utilise le cours je calcule plus vite dans ma tête, du coup voilà. Mais merci tout de même pour l'astuce ;-)
Et sinon je posterai un peu plus tard, d'autres exercices , il faut bien que je me perfectionne !
voici de nouvelles petites limites, quelqu'un voudrait bien jeter un petit coup d’œil, s'il vous plaît ? (Il faut que je me perfectionne)
Mon travail se trouve en dans la pièce-jointe ci-dessous, (n'hésitez pas à me donner vos petits conseils).
Je vous remercie d'avance.
Belle soirée à tous.
Avant d'aller me coucher, j'ai lu tes travaux ;-)
a), b), c) et e) sont corrects pour moi.
Remarque : pour le b) on peut aussi reconnaître un taux d'accroissement (fonction $x \mapsto e^{2x}$).
d)
- c'est accessoire, mais tu as posté deux fois la même page (ce n'est pas important du tout)
- je crois que tu as fait n'importe quoi : tu sembles effectuer un développement double alors qu'il n'y a qu'une parenthèse, placée autour de $x-1$. Notamment, le terme en $x^2$ ne demande qu'à vivre tout seul (:D.
f) (est-ce la bonne lettre ?)
c'est juste.
Cependant, même si c'est vrai, je trouve un peu pompeux de parler de "croissance comparée" pour $\dfrac{1}{e^{-x}}$ en $-\infty$.
merci pour la lecture de mes travaux ;-) !
Pour la f) oui la lettre est juste. Et sinon je me disais, si je ne peux pas écrire "croissance comparée" que pourrais-je donc écrire s'il vous plaît ?
Pour la d) non il y avait deux parenthèses j'ai mal recopié l'énoncé et j'ai oublié de le corrigé après, voilà pourquoi j'avais procédé par développement double, d'ailleurs vous avez raison j'ai posté 2 fois la même page, oh la la , désolée !
Encore merci pour vos conseils et votre correction,
Belle journée à vous !
le cours dit $\lim_{x \rightarrow +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \rightarrow -\infty} e^x = 0$
puis, pour tout réel $x$, $\dfrac{1}{e^{-x}}=e^x$. Tout cela doit suffire.
L'expression "croissance comparée" est plutôt utilisée pour des quotients dont numérateur et dénominateur tendent vers l'infini (ou $0$). Pour les formes dites déterminées. Mais formellement je pense que ce n'est pas faux.
Coucou tout le monde,
j'ai fait de nouveaux petits exercices sur les limites, car il faut que je me perfectionne avant la rentrée, quelqu'un voudrait bien à nouveau jeter un petit coup d'oeil sur mon travail, s'il vous plaît ? Par ailleurs, il y a une question que je n'arrive pas à faire, c'est la question 6) , je remarque qu'il y a une forme indéterminée du type $0$ x ($+\inf $) mais je n'arrive pas à la lever...La technique est peut-être toute bête, mais je n'y arrive pas...Malheureusement ! Du coup quelqu'un voudrait bien m'aider s'il vous plaît ?
Vous trouverez mon travail, en pièce-jointe,
Je vous remercie d'avance,
Belle journée à tous !
Pour la 6, en posant $t=\dfrac{1}x$, tu devrais retomber sur une limite classique.
merci pour l'astuce, je vais essayer avec votre méthode ;-)
Bonne journée à vous.
Et sinon pour le reste est-ce bon ? ( C'est ma dernière série de limites ;-) )
Je n'ai pas vu d'erreur.
Les démarches sont justes, parfois un peu longues mais je crois que ce n'est pas grave. Le temps qu'on peut gagner est certainement négligeable. Pour le 7) tu as "développé les $\ln$" et une autre méthode était de les "regrouper".
merci beaucoup pour votre correction ! Vous êtes un des meilleurs intervenants de ce forum ;-) !!
Me voilà devenue, une véritable petite experte des limites, avant la rentrée !
Excellente soirée à vous !
C'est ce forum qui est génial, tu es bien tombée.
Je le répète, ce n'est pas de la fausse modestie, je sais des choses, ça oui, c'est sûr ;-) mais ici, on a une mine de connaissances avec tous les intervenants ;-)
Merci en tout cas.
À ton service et à bientôt.
Bon sinon, j'avais une petite question...J'étais en train de relire mes fiches, et je me disais... Quelle est la différence entre le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection ? Car pour moi, c'est la même chose. Et je ne vois pas pourquoi ils portent des noms différents dans le cours...
Je vous remercie d'avance,
Bonne soirée à tous.
Corollaire du TVI
Soit f une fonction de la variable réelles à valeurs réelles. Soit I un intervalle de R. Alors, si :
• f est strictement monotone sur I
• f est continue sur I
Alors, pour tous les réels a et b appartenant à $I$ tels que a < b, tout réel compris entre f(a) et f(b) admet un unique antécédent par f dans [a,b].
Autrement dit (1), pour tous les réels a et b appartenant à I tels que a < b, pour tout réel $\lambda$ compris entre f(a) et f(b) alors il existe un [color=#660066]unique réel[/color] c appartenant à [a,b] tel que f(c) = $\lambda$
Théorème de la bijection :
Soit f une fonction réelle à valeurs réelles.
Soit I un intervalle de R.
On suppose que I inclus dans Df. Alors, si
• d’une part, f est strictement monotone sur I
• d’autre part, f est continue sur I alors, f réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle f(I).
Voilà, voilà..
Si on veut être tatillon, on peut remarquer que le théorème dit "de la bijection" annonce clairement que f(I) est un intervalle alors que l'autre ne le fait pas (alors que c'est une conséquence du TVI !!)
Par ailleurs, si on enlève le fait que f(I) est un intervalle dans la conclusion... l'hypothèse "f est continue sur I" n'est plus utile et le théorème devient une trivialité (car une fonction strictement monotone est forcément injective et toute fonction réalise une surjection sur son image).
En fait, selon moi, le point intéressant du théorème "de la bijection" n'est énoncé dans aucun des deux cas : c'est le fait que la fonction réciproque soit également continue de f(I) sur I. Mais je doute que tu en aies un jour besoin en ECE.
Et d’après Darboux, « $f$ continue sur $I$ » n’est même pas nécessaire , tout en gardant la conclusion.
merci à vous deux pour votre intervention !
@Bisam, si si nous avons vu avec le professeur, le point que vous mentionnez, d'ailleurs c'est au programme
Par ailleurs, merci de m'avoir éclairé.
@Amathoué, je ne sais pas vraiment ce qu'est Darboux... Mais merci pour votre aide
Si $g : I \to \mathbb{R}$ est une fonction dérivable sur $I$, alors $g’(I)$ est un intervalle.
merci pour votre explication.
Belle journée ensoleillée à vous .