Équivalent d'une suite téléscopique

sachaqyl · August 2018

Bonjour !
Voici la question que j'ai.

Soit pour tout n dans N, u_n = e^sqrt(n+1) - e^sqrt(n) . Déterminer un équivalent de la suite u et déterminer sa limite éventuelle.

Je reconnais que u_n est une suite télescopique, mais je ne sais pas quels calculs faire pour déterminer un équivalent. J'ai essayé de factoriser par l'angle moyen mais je n'ai abouti à rien, et je suis complètement bloquée...
Merci d'avance pour votre aide.

Dom · August 2018

Juste une réécriture : $$u_n=e^{\sqrt{n+1}}-e^{\sqrt{n}}.$$

ev · August 2018

Bonjour Sacha, et bienvenue.

Tu peux écrire
\begin{align*}
u_n &= \exp(\sqrt{n+1}) - \exp(\sqrt{n})\\
&= \exp(\sqrt{n})\left( \exp(\sqrt{n+1}- \sqrt{n}) - 1 \right)
\end{align*}

Que peux-tu dire de $ \varepsilon_n := \sqrt{n+1}- \sqrt{n} $ et de $ \exp(\varepsilon_n) - 1 $ ?

e.v.

BobbyJoe · August 2018

Factorise par $\exp(\sqrt{n})$ et procède à un développement limité... Tu vas tomber sur une forme $e^{x}-1.$

sachaqyl · August 2018

On a sqrt(n+1)-sqrt(n) qui tend vers 0 donc e^{sqrt(n+1)-sqrt(n)} - 1 est équivalent à sqrt(n+1)-sqrt(n), et donc u_n est équivalent à e^sqrt(n) (sqrt(n+1)-sqrt(n)) mais cela ne suffit pas à déterminer la limite?

Zig · August 2018

.. et $\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\sim\frac{1}{2\sqrt{n}}$ ..

Équivalent d'une suite téléscopique

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